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Transkript Kombinatorik – Kombination mit Wiederholung

Hallo! Wir sind noch bei dieser Tafel hier. Wir haben den und den und den Fall schon besprochen. Jetzt kommt der hier. Hier steht, wie man rechnen muss, wenn man wissen möchte, wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer n-elementigen Menge k-mal zu ziehen, und zwar mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge. Wir hatten hier Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen, hier hatten wir Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen, hier hatten wir Ziehen ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen und hier kommt jetzt der letzte übrig gebliebene Fall, also Ziehen mit Zurücklegen, aber ohne Reihenfolge. Da muss man immer genau drauf achten. Also noch einmal zur Rekapitulation: Wir sind bei Zufallsversuchen, wir sind bei Laplace-Versuchen und wir untersuchen bestimmte Strukturen von Laplace-Versuchen. Es ist interessant in dem Fall zu wissen, wie viele Elemente hat denn die Ergebnismenge, weil wir bei Laplace-Versuchen dann auch direkt wissen, wie wahrscheinlich die einzelnen Ergebnisse sind. Und hier wird also der Fall behandelt, dass der Laplace-Versuch so aussieht, dass wir aus einer Grundmenge etwas ziehen, und zwar aus der Grundmenge von n Objekten ziehen wir k-mal und legen wieder zurück, aber hinterher ist nur interessant, welche Kombination von Dingen haben wir und nicht, in welcher Reihenfolge haben wir die gezogen. Ich möchte das einmal vormachen hier, mit konkreten Dingen, damit man sich besser vorstellen kann, was das sein soll. Das ist also dieses typische Eiskugelproblem. Ich habe jetzt hier zum Beispiel 5 Sorten Eis. Und die Frage ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Eisbecher mit, sagen wir, 4 Kugeln aus diesen 5 Sorten zusammenzustellen? Dabei soll eben nicht interessant sein, in welcher Reihenfolge kommen diese Kugeln in den Becher, sondern einfach nur, welche Kugeln sind drin und welche nicht. Wir stellen uns Folgendes vor: Wir haben hier Waldmeister und da Orange und da Erdbeer und da Blaubeer und da Gelbbeer - nein, das ist Zitrone. Ich kann jetzt hier zufällig ziehen und habe Orange gezogen. Das muss ich natürlich wieder zurücklegen, die Bestellung und dann hier aus meinem Pool von Eiskugeln eine in den Becher legen. Dann kann ich noch einmal irgendetwas ziehen. Es ist Waldmeister. Noch mal ziehen: Es ist Blaubeer. Jetzt kommt Eisbeer. Quatsch - Zitrone. Warum nicht? Das ist unser formschöner Eisbecher, jetzt mit den 4 Kugeln. Die Frage ist jetzt noch zur Begründung: Warum rechnet man das so? Weil es für viele Leute ein bisschen komisch aussieht; es erschließt sich nicht ohne Weiteres, warum man das so rechnen muss. Wie kann man das verstehen? Diese Sache sieht so ähnlich aus wie die hier. Wir haben hier n+k-1 über k und da haben wir n über k. Wir haben hier festgestellt, dass man so die Anzahl der k-elementigen Teilmengen aus einer n-elementigen Menge bestimmt. Wir haben hier die k-elementigen Multimengen aus einer n-elementigen Menge. Multimengen sind Mengen, bei denen sich die einzelnen Elemente wiederholen können. Ein Element kann mehrmals in dieser Menge drin sein. Bei "normalen" Mengen, sage ich mal, ist das ja nicht der Fall. Das hier sieht aber so aus, als ob diese Anzahl dieser Multimengen, also dieses Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge genauso groß ist, wie die k-elementigen normalen Mengen aus einer n+k-1-elementigen Grundmenge. Denn ansonsten ist das ja die gleiche Rechnung, nur dass hier oben etwas anderes steht und oben steht, wie wir hier gesehen haben, die Anzahl der Elemente der Grundmenge und das ist die Anzahl der Elemente der Teilmengen. Und das ist tatsächlich so, dass man zu jeder k-elementigen Multimenge aus einer n-elementigen Grundmenge eine k-elementige normale Menge finden kann, aus einer n+k-1-elementigen Grundmenge. Das mache ich jetzt mal vor, wie man sich das vorstellen kann, hier an diesem konkreten Beispiel. Angenommen, ich würde diese Kugeln jetzt hier nummerieren, 1, 2, 3, 4, 5, dann könnte ich jetzt also hier diese gezogenen Kugeln der Reihe nach anordnen. Hier hätte ich dann 1, 2, 4 und 5. Das bleibt mir ja unbenommen, das kann ich machen, es ist zwar nicht wichtig, in welcher Reihenfolge die hier hereingekommen sind, aber da sie hier dann alle unterschiedlich sind, kann ich sie ja auch so anordnen. Das bedeutet, ich könnte also a1 haben, a2, a3 und a4. Das sind jetzt irgendwelche Zahlen, die hier gezogen wurden. Also a1 muss nicht die Zahl 1 sein, a1 kann auch die Zahl 3 sein, zum Beispiel. Dann könnte das auch die 3 sein und das die 5 und die 5. Es soll nur so sein, dass hier von links nach rechts aufsteigend geordnet wird, das heißt also, dass a2 mindestens so groß sein muss wie a2 und a3 muss mindestens so groß sein wie a2 und so weiter. Und jetzt passiert das Ungeheure, ich kann nämlich hier einfach rechnen +1, da +2 und da +3. Dann habe ich hier und hier und hier und hier Zahlen stehen, die alle unterschiedlich sind. Warum? A3 ist mindestens so groß wie a2. Wenn ich dann also hier mehr addiere als da, ist diese Zahl hier, also a3+2 echt größer als a2+1. Das heißt also, zu jedem Ergebnis hier, also zu jeder Multimenge zwischen 1 und 5, also a1 ist mindestens so groß wie 1 und a4 ist höchstens so groß wie 5, also zu jeder solcher Multimenge, gibt es eine normale Menge, wo jedes Element nur einmal vorkommt, und zwar zwischen 1 und 8. Ja, wenn hier a4 höchstens 5 ist, dann ist a4+3 höchstens 8. Das heißt also, ziehen ohne Zurücklegen, weil jedes Element nur einmal vorkommt, und ohne Reihenfolge aus den Zahlen zwischen 1 und 8. Das ist genau das, was hier steht. Wenn wir sagen, wir haben 5 Elemente, wie ziehen 4-mal, dann ist 5+4-1=8. 8 über 4 müssen wir hier rechnen, also die Anzahl der 4-elementigen Teilmengen aus den Zahlen zwischen 1 bis 8. Anders herum betrachtet, könnte man 4-mal ziehen aus den Zahlen zwischen 1 und 8, ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen. Das ist die 4. Wir könnten jetzt Folgendes machen: b2-1 rechnen, b3-2 und b4-3. Hier soll wieder in aufsteigender Folge geordnet worden sein, das heißt, b2 soll echt größer als b1 sein, b3 soll echt größer als b2 sein und b4 soll echt größer als b3 sein. Dann ist b2-1 mindestens so groß wie b1. b2-1 kann nicht kleiner sein, denn vorher war b2 echt größer als b1, also mindestens um 1 größer, deshalb kann b2-1 jetzt nicht kleiner als b1 sein. Und das Gleiche gilt für die anderen Einträge hier. Das heißt, wir bekommen hier jetzt 4 Zahlen zwischen 1 und 5, wenn b1 bis b4 zwischen 1 und 8 liegen. Und das sind wieder diese Multimengen, die wir hier vorher mit a1, a2, a3, a4 hatten.  Das kann man sich einmal ein bisschen in Ruhe überlegen, mit ein paar Beispielen, um das hin- und her zu übersetzen. Aber es ist wirklich so. Also, zu jeder Multimenge hier gibt es dann eine echte Menge und zu jeder echten Menge gibt es hier wieder eine Multimenge und das sind beides gleich viele. Hier allerdings, dann a1 bis a4 zwischen 1 und 5, b1 bis b4 zwischen 1 und 8. Und so kommt diese Formel zustande. Ich hoffe, das war Erklärung genug. Es kommt dann noch eine Aufgabe, die es in sich hat, zu den beiden hier. Viel Spaß damit. Tschüss.

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