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Transkript Kombinatorik – k Elemente aus n Elementen auswählen

Hallo. Wie viele k-elementige Teilmengen bekommt man aus einer n-elementigen Menge? Das ist die Frage, die es zu beantworten gilt. Betrachten wir mal als Beispiel eine 10-elementige Menge - hier sind 10 Eier drin. Aus der möchte ich jetzt eine 6-elementige Teilmenge gewinnen, indem ich zufällig hier Eier rausziehe. Ich fange mal an. Es ist die 2. Ich hatte jetzt 10 Möglichkeiten, eines der Eier hier rauszuziehen, denn hier sind ja 10 Eier drin. Eine Menge enthält jedes Element nur 1 mal. Deshalb kann ich jetzt, um das zweite Element der Menge hier zu gewinnen,die Eins, das erste Element, das heißt, das mit der Nummer 2 hier draußen liegen lassen und noch mal reingreifen. Jetzt sind hier 9 Eier drin, ich habe also 9 Möglichkeiten noch, ein weiteres Ei zu ziehen. Es ist die 4. Um das dritte Element der Teilmenge zu gewinnen, ziehe ich noch mal, und jetzt gibt es hier 8 Möglichkeiten, weil ja noch 8 Eier drin sind. Es ist die 8. Ja, und so weiter, das mache ich jetzt nicht weiter vor. Ich glaube, es ist klar geworden, worum es geht. Das bedeutet also: Zum Ziehen des ersten Eies hat man 10 Möglichkeiten, danach noch 9 Möglichkeiten und für zwei solcher gezogenen Eier dann noch 8 weitere Möglichkeiten, ein drittes Ei zu ziehen, dann noch 7 Möglichkeiten, 6 und 5 Möglichkeiten. So. Sind das jetzt schon alle 6-elementigen Teilmengen einer 10-elementigen Menge? Nein. Das sind viel zu viele. Betrachten wir die Möglichkeiten der ersten beiden Züge: Ich habe gesagt, für den ersten Zug gibt es 10 Möglichkeiten und dann noch 9 weitere Möglichkeiten für den zweiten Zug. Dazu gehören die Möglichkeiten 8, 6 und aber auch 6, 8. Es gibt aber nur eine einzige 2-elementige Menge, die die 8 und die 6 enthält. Das bedeutet, hier habe ich doppelt so viele Möglichkeiten gezählt, wie es tatsächlich Teilmengen gibt.Und bei 3 Zügen wird es noch schlimmer, denn mit dieser Rechnung hier, mit dieser Rechnung, habe ich das hier gezählt und das und das und das und das und das. Wie oft kommt nun diese 3-elementige Menge in dieser Rechnung vor? Ja so oft, wie es Möglichkeiten gibt, diese 3 Zahlen auf 3 Positionen anzuordnen.Dafür gibt es: wenn ich jetzt mit der 6 anfange hier, ich möchte die 6 anordnen, dann habe ich zunächst 3 Möglichkeiten, die irgendwo hinzupacken. Für jede Möglichkeit habe ich jetzt noch 2 Möglichkeiten, das zweite Ei irgendwo hinzupacken und jetzt noch eine Möglichkeit, das dritte Ei irgendwo hinzupacken. Und bei den 6-elementigen Teilmengen ist die Überlegung fast die gleiche. Mit dieser Rechnung habe ich zu viele Möglichkeiten gezählt, und zwar kommt in dieser Rechnung diese 6-elementige Teilmenge mehrmals vor, und zwar so oft, wie es Möglichkeiten gibt, diese 6 Eier auf 6 Plätze zu verteilen. Für das erste Ei habe ich 6 Möglichkeiten, für das Zweite noch 5 weitere Möglichkeiten, für das Dritte noch 4 weitere Möglichkeiten, dann noch 3, 2 und noch eine Möglichkeit. Das bedeutet, wenn ich also dieses Produkt hier durch 6×5×4×3×2×1 teile, erhalte ich die richtige Anzahl von Teilmengen, und das ist - ich hoffe, du erkennst das wieder, diese Rechnung hier -ist 10 über 6. 10 über 6, was das bedeutet, habe ich schon mal erklärt in einem anderen Film. Das mache ich hier jetzt nicht noch mal. Es gibt also 10 über 6 Möglichkeiten, 6-elementige Teilmengen aus einer 10-elementigen Grundmenge zu gewinnen. Allgemein gibt es n über k Möglichkeiten, k-elementige Teilmengen aus einer n-elementigen Grundmenge zu gewinnen. Ja, das war es. Viel Spaß damit. Tschüss.

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