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Transkript Kettenregel – x hoch x ableiten

Hallo, liebe Mathematikfreunde. Hier ist Andre mit einem kleinen Video zur Analysis. Heute wollen wir die Funktion xx ableiten. Zuerst möchte ich einmal die Lernvoraussetzungen nennen, die ihr erfüllen solltet. Als 1. solltet ihr die Grundlagen der Differenzialrechnung beherrschen. Dazu zählen 2. die Ableitungsregeln wie Produktregel, Kettenregel und die Kenntnis über die Ableitung der Funktion  y=lnx. Als 3. solltet ihr mit der Ableitung der Exponentialfunktion y=ax vertraut sein. Als 4. solltet ihr die einfachen Umformungs- und Vereinfachungsregeln der elementaren Algebra nicht vergessen haben. Somit frisch ans Werk. Wir haben die Funktion y=xx abzuleiten. Wir wissen bereits, das die Exponentialfunktion y=ax differenziert werden kann. A soll im Bereich von 0 bis ? liegen (nach unten offen) und a soll den Wert 1 sinnvollerweise nicht annehmen. Ihr wisst, das dann die Ableitung dieser Funktion y'=ax×lna. Ln steht für den natürlichen Logarithmus. Logarithmus zur Basis e der eulerschen Zahl. Übertragen wir diese Erkenntnis auf unsere Funktion, so können wir mutig oder auch fahrlässig schlussfolgern: y'=xxlnx, denn die Basis in unserem Fall ist nicht a, sondern x (aber was macht das schon). Wir sind fertig. So ganz beschwerdefrei können wir mit diesem Ergebnis allerdings nicht leben, denn xx ist kein Spezialfall von ax. Nichtsdestotrotz, das Ergebnis wird in der rechten oberen Ecke mit blauer Farbe notiert. Vielleicht fällt uns dazu ja noch etwas ein. Wenn man diese Aufgabe zum ersten Mal löst, ist man ob diesen Einwandes sicherlich konsterniert und entmutigt. Manchmal denkt man einige Minuten, Stunden, vielleicht auch Tage darüber nach, doch wir kommen sofort zum zweiten Anlauf. Die Funktionsgleichung enthält eine Variable sowohl in der Basis als auch im Exponenten und das ist unangenehm. Viel angenehmer jedoch, ist die Tatsache, dass wir es hier mit keiner Summe zu tun haben, sondern mit einem relativ einfachen Ausdruck. Da eine Potenz da ist, kann man ans Logarithmieren denken. Das ist oft gut. Nun ist noch die Basis festzulegen. Wir nehmen den natürlichen Logarithmus ln. Warum, das werden wir später noch sehen. Logarithmieren heißt nun erst mal nichtsweiter, als einfach den Logarithmus  links und rechts vor die entsprechenden Therme zu schreiben. Nun verwenden wir ein Logarithmengesetz. Nun erhalten wie lny=xlnx und der lästige Exponent ist verschwunden. Erst jetzt werden wir differenzieren. Differenzieren heißt erst mal die Ausdrücke links und rechts in eine Klammer setzen und mit dem Differentionsstrich zu versehen. Auf der linken Seite kommt die Kettenregel zur Anwendung. Auf der rechten Seite der Gleichung die Produktregel. Auf der linken Seite ergibt sich nach der Kettenregel: die äußere Ableitung des Logarithmus ist 1÷y (rot untersetzt multipliziert mit der inneren Ableitung y' (blau untersetzt). Das Produkt auf der rechten Seite besteht aus den Faktoren x und lnx. Wir leiten x ab (x' ) und multiplizieren mit  lnx und addieren x multipliziert mit der Ableitung von lnx, das ist 1÷x. Auf der linken Seite generieren wir nun einen vernünftigen Bruch: y'÷y. Auf der rechten Seite kommt es zur Vereinfachung X×1÷X=1. Dieser Ausdruck wird nun mit y multipliziert. Wir erhalten somit (2. Zeile von unten) y'=(x'lnx+1)y. Differenzieren heißt erst mal die Ausdrücke links und rechts in eine Klammer setzen und mit dem Differentionsstrich zu versehen. x' (die Ableitung von x)=1. Es geht weiter rechts in der Mitte. Y'=(lnx+1)y. Y ist eine gute alte Bekannte, nämlich unsere Funktion xx. Y durch xx ersetzt ergibt 

y'=(lnx++1)xx. Wir vertauschen nach dem Kommutativgesetz die beiden Faktoren und erhalten y'=xx(lnx+1). Das Ergebnis schreiben wir jetzt oben rechts mit roter Farbe unter den ursprünglichen Lösungsvorschlag. Die Ergebnisse sind nicht identisch, die Arbeit hat sich gelohnt. So und schon wieder am Ende. Ich hoffe, ich konnte euch eine kleine Freude bereiten und ihr habt vielleicht eine Inspiration bekommen. Na dann, bis zum nächsten Mal.

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