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Transkript Kettenregel – Beispiel (6)

Hallo, hier ist eine Funktion, die du mit der Kettenregel ableiten kannst. Hier im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen, wir haben f(x)=7×cos(2x+5). Was bietet sich hier an als innere Funktion v das sind hier diese 2x+5 das soll jetzt mal v sein. Und dann wissen wir sofort die Ableitung von v=2. Ja, 2x+5 abgeleitet ist 2. Das x spar ich mir hier, das ist so einfach, das siehst du so. Die äußere Funktion u ist jetzt 7×cos(v). 7×cos von irgendwas leitet man folgendermaßen ab: Also wir haben u'=7×, die 7 bleibt stehen wegen der Faktorregel, die Ableitung der Cosinusfunktion ist -Sinus also können wir hier hinschreiben -7×sin(v). Also haben wir als Ganzes hier für f'(x)=2×-7×sin(2x+5) Und -7×2 kann ich natürlich zusammenfassen zu 14×sin(v) und das ist (2x+5). So, damit ist das hier erledigt, weil das so schnell ging, kommt gleich noch eine. Und zwar eine Funktion, die ein bisschen lustiger aussieht, nämlich folgendermaßen: f(x)=2Cosx². Ja das sieht bisschen aus wie eine Treppe 2cosx². Man hat sich drauf geeinigt, man quadriert erst hier oben und dann nach unten weiter, also diese oberen Exponenten binden mehr als die unteren. Sei nur nebenbei gesagt. Ja, das ist jetzt eine Funktion, die aus 3 Funktionen besteht, die also hier ineinander geschachtelt sind. Das entspricht also hier der Dreierschachtelung das ist u(v(w(x))) und da gehen gleich 3 Klammern zu. Und wenn man das ableiten möchte, hier also f'(x) das ist dann die äußere Ableitung u'× die innere Ableitung also die Ableitung der inneren Funktion und das ist (v(w(x))) und das müssen wir noch ableiten, das kommt in eine Klammer und hier ist der Ableitungsstrich. Ok, das sind viele Klammern ist aber nicht weiter aufregend. Wenn wir jetzt hier die Funktion (v(w(x))) ableiten, müssen wir auch die Kettenregel anwenden. Und zwar ganz normal wie vorher auch. Und damit haben wir hier, dass die Ableitung dann so aussieht u'× äußere Ableitung × innere Ableitung und dann bleibt da einfach stehen u'×v'×w' und wenn man eine Funktion hätte, die 4 mal geschachtelt ist, dann macht man das Ganze halt 4 mal. Und das geht immer so weiter, also das ist der einfachst mögliche Ausgang glaub ich, den man sich hier vorstellen kann, wenn man 3 Funktionen ineinander verschachtelt. Also, dann fang ich mal innen an, ganz innen ist übrigens die Cosinusfunktion, wollte ich sagen, das ist nicht hier oben oder so, das hat geometrisch keine Bedeutung. Du musst dir immer überlegen, wie geh ich vor beim Rechnen, was rechne ich zuerst aus. Du würdest erst was für x einsetzen und das in die Cosinusfunktion einsetzen, den Wert ausrechnen, diesen Wert dann quadrieren und das Ergebnis als Exponent von 2 verwenden. Das bedeutet also, wir haben ganz innen hier w das schreib ich jetzt nicht mehr auf, dass w(cosx) ist, das hab jetzt gesagt damit ist w'=-sinx. Ja, schreibt man meistens mit Klammer glaub ich, hab ich hier jetzt ohne Klammer geschrieben, manchmal so, manchmal so. Dann haben wir die Ableitung von v das ist ja w², also die Funktion w², und damit haben wir hier 2×w. Und die Ableitung von u=2etwas. Und die Ableitung von 2²=ln2×2v in dem Fall. Ja und das müssen wir noch alles zusammen basteln und hier für w und v, das entsprechende einsetzen. Das bedeutet, wir haben zunächst mal f'(x)=-sin(x) und dann haben wir 2×w, w ist ja Cos(x) also ×2×cos(x)×ln2, das ist die Ableitung u' hier ln2×2v und v ist ja cos(x)² also darf ich das auch hier hin schreiben 2cos(x)² und länger hätte es jetzt auch nicht sein dürfen. Hier ist also die ganze Rechnung noch mal tutti kompletti. Das Einzige, was hier zu beachten ist, man muss eben gucken, dass man immer das Richtige einsetzt, ansonsten, zu rechnen ist da auch nicht so viel. Viel Spaß damit, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Felix

    @Merry 07: Die Ableitung der Exponentialfunktion 2^x ist ln(2)*2^x. Dadurch kommt der Logarithmus hinzu. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor 25 Tagen
  2. Default

    Hallo liebes Sofatutor-Team,

    wie kommt bei 7:18 auf diese ganzen ln`s. Ich habe es ohne ln gemacht und ich glaube es ist falsch.

    Von Merry 07, vor 26 Tagen