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Transkript Kettenregel – Beispiel (5)

Hallo, Exponentialfunktionen kannst du oft mit Kettenregeln ableiten und deshalb hab ich hier mal 2 Funktiönchen vorbereitet, nämlich die 1. ist f(x)=5e^-x. Wenn du nicht sicher bist, was ist hier die Verkettung, wo ist die Verkettung, was ist innen, was ist außen, stell dir Folgendes vor: du möchtest z. B. den Funktionswert an der Stelle 3 ausrechnen, wie gehst du dann vor? Du setzt für x 3 ein, dann bildest du die Gegenzahl von 3, nämlich -3 und dieses Ergebnis setzt du als Exponent hier in e hoch Exponent ein und danach multiplizierst du das Ergebnis von e^-3 mit 5. Wenn du nicht sicher bist, wo muss ich den Strich setzen, bis wo ist innen, ab wo ist außen, du kannst es auch ausprobieren, so viele Möglichkeiten gibt es meistens nicht. Hier gibt es 3, das sind schon viele, aber auch 3 Möglichkeiten kann man ausprobieren. Und wenn du irgendwo nicht weiterkommst, dann merkst du, aha, das war die falsche Möglichkeit. Dann hab ich also v(x)=-x, das heißt wir bilden einfach die Gegenzahl von x und u(v) ist dann hier die äußere Funktion, also 5ev. Ja, die Ableitungen, glaub ich, sind hier schnell gemacht. Wir haben v'(x)=-1 und u'(v), ja das bleibt gleich, nicht wahr? 5 bleibt einfach stehen, hier nach Faktorregel, und die Ableitung von ev ist ev, das heißt die Ableitung sieht hier genauso aus, wie die Funktion selbst. Na dann können wir das hier direkt lösen, also haben wir f'(x)=u'(v), das ist 5ev, und für v schreib ich jetzt das, wofür v steht, nämlich für -x × die Ableitung von v, das ist -1, also ×-1, hier brauch ich auch die Klammer und dann bin ich hier sofort fertig. 5×(-1) ist -5, -5e^-x ist hier die Ableitung dieser verketteten Funktion. Weil das so einfach war, möchte ich jetzt mal eine Funktion zeigen, bei der du dich dann hoffentlich nicht so langweilst wie jetzt hier. Eine neue Funktion, neues Spiel, neues Glück. Wir haben, was hab ich mir da überlegt, -½×e^-½×x^-2. Das ist eine Steigerung hier, das ganze ist der Exponent, also -½×x^-2. Und wie so oft bei e-Funktionen, wenn man sich hier überlegt, was ist innen, was ist außen, der ganze Exponent ist die innere Funktion. Man rechnet erst das aus, was hier steht und das setzt man dann als Exponent ein in die Funktion ex und hinterher multipliziert man noch mit ½. Damit ist also Exponent selber die innere Funktion. Das schreib ich jetzt hier ordentlich hin: v(x)=-½, na das möchte ich eben abtrennen hier, -½×x^-2. Ja, das sieht jetzt vielleicht wild aus, wenn du diese Funktion nicht so gewohnt bist, aber wenn man das jetzt so einteilt, ich sag mal -½×x^-2, das hast du schon oft abgeleitet, das sollte kein Problem sein. Wir haben v'(x)=-½ bleibt stehen, nach Faktorregel, ×(-2), kommt von der Potenzregel, ×x^-3, -3 auch wegen der Potenzregel. Das heißt, wir haben hier die Ableitung der inneren Funktion. -×- ist +, ½×2 ist 1, x^-3 ist die Ableitung der inneren Funktion. Dann müssen wir noch die äußere Funktion bestimmen. Das ist u(v)=-½×ev und die Ableitung davon u'(v) ist ganz einfach -½, das bleibt stehen, wegen der Faktorregel. Und ev ist abgeleitet ev, das bleibt, wie es ist. So, und dann kann man hier jetzt auch lösen: und zwar f'(v)=, ich fange außen an, u'(v)=-½×ev und für v schreib ich jetzt den Term hin, nämlich -½×x^-2. Und dann muss ich das noch multiplizieren mit der Ableitung von v und das ist x^-3. Ja, das sieht alles wild aus, ist aber eigentlich nichts Besonderes. So, jetzt kann man das noch als Bruch schreiben, alles wohl, damit man mal zeigt, dass man das kann, dass man das weiß. Wir haben, ja muss ich mal ganz tief anfangen, oder? Doch, so tief nicht, denn im Nenner steht ja nur noch eine 1 dann. Hier haben wir einen interessanten Bruch bzw. -1, dieses Minuszeichen ... ach in dem Zähler mein ich, in dem Zähler steht ja nur -1, diese -1 kommt hier hin. Dann haben wir hier unten 2×, das ist diese 2, ich zieh das jetzt hier mal nach vorne, dann ist das vom Schriftbild etwas einfacher. Wenn ich jetzt x^-3 in den Nenner schreibe, habe ich hier einfach x3. Und dann kommt e hoch, wegen dieses Minuszeichens steht jetzt die Funktion e hoch irgendwas im Nenner, und ich muss hier potenzieren mit 1/(2×x²), das passt kaum hin, dann hätte ich das e jetzt hier ein bisschen tiefer schreiben müssen, also hier ist das e, ja, das hätte auch noch tiefer geschrieben werden müssen, damit man das hier noch vernünftig sehen kann. Ja, am besten sollte man sich das vorher überlegen, wie viel Platz man braucht, was ich jetzt hier zwar versucht habe, was mir aber nicht ganz gelungen ist, und du siehst, das sieht auch wieder ein bisschen wild aus hier, weil man doch sehr viel Höhe braucht bei diesen ganzen Exponenten, aber deshalb gibt es ja die Schreibweise hier mit den negativen Exponenten und da sieht man zum Beispiel auch, warum das ganz gut ist. Ja, viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    **letzte

    Von Yasmine A., vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    das erste Schritt :###########

    Von Yasmine A., vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Toll erklärt, vielen Dank!

    Von Olivia Serwata, vor mehr als 4 Jahren