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Transkript Kettenregel – Beispiel (4)

Hallo, hier ist ein Beispiel einer Funktion, die Du mit Kettenregel ableiten kannst. Die Kettenregel steht hier oben. Hier schreibt man öfter auch u von v von x. Ich habe das jetzt hier mit der Verknüpfungsoperation geschrieben. Die Schreibweise ist auch üblich. Ich weiß nicht welche Du verwendest. Beide sind auf jeden Fall üblich. Dann haben wir hier eine nette Funktion mit dem Funktionsterm 3.\sqrt( x²+\sqrt(x)). Übrigens Du kannst hier nicht summandenweise die Wurzel ziehen. Ich wollte es nur noch mal sagen, das kommt immer wieder vor. Das darf man nicht. Da gibt es keine Formel für. Und weil die Funktion vielleicht ein bisschen anders ist als die meisten Beispiele zur Kettenregel, möchte ich hier mal zeigen, wie Du darauf kommen kannst, was hier außen und was hier innen ist. Du kannst Dir zum Beispiel überlegen, wie muss ich denn rechnen, wenn ich jetzt hier für x 2 einsetze und den Funktionswert bei 2 ausrechne. Dann fängst Du also damit an und sagst x=2. Mit dieser Sache rechnest Du dann weiter und rechnest also 2². Mit 2² kannst Du jetzt hier nicht weiterrechnen, sondern Du musst wieder neu anfangen. Für x 2 einsetzen und dann die \sqrt(2) ziehen. Du siehst also, das bis hier ist keine Verkettung, weil Du ja hier zweimal anfangen musst. Dann wirst Du aber diese beiden hier addieren und aus dieser Summe wirst Du dann die 3.\sqrt ziehen. 3.\sqrt aus dieser Summe schreibe ich mal einfach so. Und damit, wenn Du Dir das so aufgeschrieben hast, siehst Du, dass die einzige Möglichkeit für die Verkettung, also zu sagen bis hier ist innere Funktion, ab hier ist äußere Funktion, die einzige Möglichkeit ist hier an dieser Stelle. Denn aus dem Ergebnis der Summe wird hier die 3.\sqrt gezogen. Ja, ich glaube klarer wird es nicht. Also wenn Du unsicher bist, kannst Du Dir das so aufschreiben. Ganz langsam ausrechnen und dann siehst Du meistens, wo die Verkettung stattfindet und wo Du unterteilen kannst zwischen innerer und äußerer Funktion. Es gibt wenige Beispiele, wo das nicht ganz klar ist oder wo man sogar mehrere Möglichkeiten hat, mehrere sinnvolle Möglichkeiten, auch das kommt vor. Und dann kannst Du Dir eine aussuchen. Macht nichts. So, und nachdem wir das jetzt geklärt haben, ist die Frage: Was ist die innere Funktion? Ist es also das, was unter der großen Wurzel steht, nämlich x²? Diese Wurzel schreibe ich auch gleich in der Exponentenschreibweise, nämlich x^½. Dann kann man das auch direkt ableiten. Beide Summanden abgeleitet kennst Du. Das ist 2x, die Ableitung von x². Die Ableitung von x^½ ist doch ½ ×x^-½, da kommt das - hin. Oder einfach 1÷2×\sqrt(x). Aber ich lasse es jetzt erstmal so stehen. Dann als äußere Funktion ergibt sich hier u(v) ist also die 3.\sqrt aus v. Gar kein Problem. Und das kann man natürlich auch schreiben als v1/3. Und so muss ich das auch schreiben, wenn ich hier vernünftig ableiten will. Dann haben wir nämlich u´(v)=1/3×v^-2/3. Wir hatten je erst 1/3. 1/3-1=2/3. Das ist der Exponent, den wir da brauchen. Und dann passiert die Ableitung hier. Das möchte ich schon mal abtrennen, damit hier keine Missverständnisse auftauchen. Wir haben f´(x)=. Wir brauchen u´, das steht hier, das ist 1/3. Das, was hier unter der großen Wurzel steht, also v, nämlich x²+\sqrt(x). Ich könnte auch x^½ schreiben, aber ich bleibe jetzt dabei, so wie das jetzt hier steht. Das ist vielleicht für das Schriftbild angenehmer. Das Ganze hier hoch -2/3. Das steht ja da. × Ableitung von v, die steht hier und das ist eine Summe. Deshalb, wir multiplizieren mit einer Summe, wir brauchen unbedingt eine Klammer 2x+½×x^-½. Und da geht die Klammer zu. Ja, hat gerade so gepasst. Das ist unsere Funktion. Ableitungsfunktion. Und das kann man auch so stehen lassen. Ich möchte es aber auch noch mal anders hinschreiben. So mit Hochstrich und allem. Da können wir uns Folgendes überlegen: Wir brauchen einen Bruchstrich, wir haben ja negative Exponenten. 1/3 bedeutet, die 3 kommt erstmal in den Nenner und dann haben wir hier diese Klammer. Die wird auch mit einem negativen Exponenten potenziert, das heißt, die kommt auch in den Nenner. Und Klammer2/3 bedeutet, 3.\sqrt aus der Klammer ². Das schreibe ich hier jetzt auch mal in aller Ausführlichkeit hin. Hier brauchen wir die Klammer x²+\sqrt(x), das also zum ². Ja, ich habe ein bisschen gespickt, damit ich mich nicht vertue hier. Das ist abgefrühstückt. Jetzt kommt der andere Faktor. Nämlich einfach 2x in dem Zähler +, und das kann man auch wieder als Bruch schreiben, ½x-½ ist ja 1÷2×\sqrt(x). Und das kommt dann so in den Zähler. Jetzt könnte man noch hier versuchen, das hier und das noch auch zusammenzufassen, zu einem Bruch. Dann hätten wir aber hier, weil das eine Summe ist, dann müssten wir das auch als einzelnen Bruch schreiben. Das mache ich jetzt nicht. Ich glaube einfacher geht es nicht. Man kann es noch komplizierter schreiben und das wollen wir ja nicht, weil ich ein bisschen klein geschrieben habe. Das jetzt noch mal hier in ganz deutlich. Und damit ist auch dieses Beispiel hier erledigt.   Viel Spaß damit. Tschüss.

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5 Kommentare
  1. Default

    Hallo,
    ich habe eine Aufgabe von x* 3te Wurzel aus x* 3te Wurzel aus x.
    habe versucht die zu lösen aber irgendwie habe ich einen Denkfehler. Die Lösung sollte 13/9 x^4/9 sein.
    Für V´ habe ich = 1*1/3x^ -2/3 und U´ = 1* 1/3 V^-2/3.
    in die formel eingsetzt --> 1/3(x*x^1/3)^-2/3 * (1/3x^-2/3)
    Wäre dankbar für etwas hilfe.

    Von Mr Ryu, vor mehr als 3 Jahren
  2. Who is who 34

    Hallo,
    stell dir vor, eine Klammer ohne Exponenten ist immer gleichzusetzen mit:
    (2x+1/2x^-1/2)^1. Also (2x+1/2x^-1/2 )= (2x+1/2x^-1/2)^1 Da diese 1 nicht negativ ist, braucht man an dieser Stelle die Klammer nicht in den Nenner schreiben.
    Die Antwort auf das zweite Problem kann man auch mit den Wurzelgesetzen erklären. Da gibt es eins, das besagt: ((x)^2)^-1/3 = (x)^-2/3. In die (x) kannst du nun einsetzen was du willst, z.B. eine Summe. Wenn du also die Klammer erst hoch 2 und dann hoch -1/3 nimmst, kommt das Ergebnis von Martin raus.

    Von Sebastian W., vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Ich verstehe den Umformungsschritt zum Schluss leider nicht :-(
    Warum kommt das Paket (2x+1/2x^-1/2) nicht einfach auch in den Nenner? Und warum wird bei 3*3.WURZELaus (x^2+WURZELausX)^2 die ganze Klammer hoch 2 genommen?

    Von Sillium, vor mehr als 4 Jahren
  4. Flyer wabnik

    Welche 2 meinst du?

    Von Martin Wabnik, vor etwa 6 Jahren
  5. Default

    woher kommt bei der 3. Lösung plötzlich die 2 her?...die hat doch da nichts zu suchen,oder?

    Von Puxi, vor etwa 6 Jahren