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Transkript Irrationalität der Eulerschen Zahl e

Hallo, in diesem Video möchte ich zeigen, dass die Eulersche Zahl irrational ist. Die Beweisführung erfolgt indirekt, das heißt, wir nehmen an, dass e rational ist und leiten daraus einen Widerspruch her. Sei also e rational. Dann lässt sie sich als ein Bruch schreiben. e=p/q. Wie wir wissen liegt e zwischen 2 und 3. Dazu gibt es auch ein Video bei Sofatutor. Das heißt, e ist keine ganze Zahl, und folglich q>1, das ist äquivalent zu q≥2. Außerdem merken wir, dass p und q aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ausgewählt werden können. Wir betrachten nun die Reihendarstellung der Eulerschen Zahl e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+ und so weiter. Diese Reihe multiplizieren wir mit q!. Wir erhalten q!e=q!+q!/1!+q!/2!+q!/3!+q!/4!+ uns so weiter bis q!/q! und dann kommt q!/(q+q)!+q!/(q+2)!+ und so weiter. Für die linke Seite dieser Gleichung gilt: q!×e=q!×p/q=(q-1)!×p. Dies ist eine natürliche Zahl. Die erste Teilsumme auf der rechten Seite, wir bezeichnen sie mit S, ist auch eine natürliche Zahl, denn alle Nenner von 1! bis q! sind Teiler des Zählers q! und die Summer der natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl. Wir betrachten nun die zweite Teilsumme, die wir mit T bezeichnen. T=q!/(q+1)!+q!/(q+2)!+ und so weiter. Dies lässt sich schreiben als 1/(q+1)+1/(q+1)×(q+2))+ und so weiter. Da q ≥ als 2 ist, ist diese Summe ≤ als 1/3+1/(3×4)+1/(3×4×5)+ und so weiter. Diese Summe ist definitiv kleiner als 1/3+1/3²+1/3³+ und so weiter. In dieser Reihe erkennen wir sofort eine geometrische Reihe mit dem Quotienten 1/3 und dem Anfangsglied auch 1/3. Die Summe dieser Reihe lässt sich mit der bekannten Formel wie folgt berechnen. 1/3×1/(1-1/3), das ist genau 1/2. Auf diese Weise habe wir nun gezeigt, dass T zwischen 0 und 1/2 liegt und somit definitiv keine natürliche Zahl ist. Insgesamt haben wir also gezeigt, dass die rechte Seite keine natürliche Zahl ist. Dies steht im Widerspruch zu der linken Seite. Das heißt, unsere Annahme war falsch und die Eulersche Zahl ist irrational. So viel zur Irrationalität von e. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

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1 Kommentar
  1. Images

    Gut

    Von Sarahcupcakelove, vor mehr als 3 Jahren