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Transkript Inverse Matrizen berechnen

Hallo und willkommen. Es geht in diesem Video um das Thema inverse Matrix. Es geht um die Frage, wie man Matrizen invertiert. Was soll das bedeuten? Schauen wir uns das jetzt mal an. Nehmen wir uns eine quadratische Matrix - das ist allerdings eine Voraussetzung, sie muss quadratisch sein. Außerdem muss die Determinante dieser Matrix nicht 0 sein, das ist wichtig, wichtige Voraussetzung. So, geben sind diese beiden Eigenschaften. Dann gibt es eine Matrix B, die multipliziert mit A die Einheitsmatrix ergibt. Und man schreibt statt B auch -1 und nennt diese Matrix, also B bzw. A^-1, die inverse Matrix zur Matrix A. Genau das entspricht also dem, was man bei reellen Zahlen schon kennt. Bei reellen Zahlen hätte man - also bei a und b - wenn a und b gleich 1 ergeben, dann nennt man b - das sind die zu a inverse Zahlen und wir wissen auch, unter welchen Umständen diese inverse Zahl überhaupt existiert. Nämlich nur dann, wenn a nicht 0 ist und reelle Zahlen sind auch Matrizen. Ganz einfache 1 Kreuz 1 Matrizen. Also eine reelle Zahl kann man auch als 1 Kreuz 1 Matrix auffassen und die Determinanten dieser 1 Kreuz 1 Matrix ist a und die soll nicht 0 sein und dann existiert also eine Inverse. Und analog dazu haben wir das hier bei den Matrizen auch, da gibt es auch also eine Inverse und Voraussetzung ist, dass die Matrix sporadisch ist und dass die Determinante nicht verschwindet. So, für den Spezialfall der 2 Kreuz 2 Matrizen, Matrizen mit 2 Zeilen und 2 Spalten. Da hat man eine Formel gefunden, wenn die Matrix A die Form, also eine 2 Kreuz 2 Matrix ist, dann lässt sich die Diverse ganz einfach berechnen, indem wir die Determinante berechnen. Jetzt hat man also diese Formel also schon gefunden. Das ist eine allgemeine 2 Kreuz 2 Matrix. Diese 4 Zahlen sind reelle Zahlen. Wir vertauschen jetzt die beiden. Das ist die Formel, kann man sich merken, in seine Formelsammlung schreiben, was auch immer. Und so berechnet sie sich. Wir sehen hier, was passiert, wenn die Matrix eine Determinante hat, die 0 ist. Dann divergiert dieser Faktor, 1/0 ist dann hier erlaubt. Und dann existiert diese inverse Matrix nicht. Nun wollen wir das mal an einem Beispiel rechnen. Nehmen wir uns eine Matrix, eine ganz einfache. Berechnen wir zunächst einmal die Determinanten. Was ist die Determinante? Das ist 4-3, also 2×2-1×3=1, das ist wunderbar. So, dann müssen wir also - den Vorfaktor müssen wir nicht berücksichtigen. 1 durch die Determinante ist 1, die beiden vertauschen wir, bleibt alles so, wie es ist und den andern beiden geben wir ein Vorzeichen. Das müsste jetzt die inverse Matrix sein und das überprüfen wir gleich mal, ob das überhaupt stimmt. Und dazu bilden wir mal das Matrizenprodukt der beiden. So, nehmen wir den Vektor und ziehen ihn durch diese Matrix. Was passiert? Das Skalarprodukt dieses Spaltenvektors mit Seitenvektor ist 4-3=1, wunderbar. Dann das Skalarprodukt aus diesen beiden, dieses Spaltenvektors mit diesem Zeilenvektor ist 0. Und jetzt nehmen wir diesen Spaltenvektor und ziehen ihn durch diese Matrix, ergibt -3×2+3×2=0. So, jetzt noch diesen Vektor mit dem Zeilenvektor, das ergibt -3+4, das ist 1. In der Tat. Das, was wir hier haben, ist die Einheitsmatrix. Also ist das die Inverse, tatsächlich. Und dieses Symbol ist richtig.  Diese Matrix ist die inverse Matrix der Matrix A. So, nun gibt es auch noch eine andere Möglichkeit. Nämlich mit dem Gauß-Algorithmus auf die Inverse zu kommen. Und das läuft wie folgt: Man schreibt sich die Matrix, die man invertieren möchte einfach mal hin und daneben, durch einen Strich getrennt, die Einheitsmatrix, dann hat das Ganze diese Form. Also hier steht die Matrix A, die wir invertieren möchten, hier die Einheitsmatrix. Das Ziel ist jetzt aus dieser Seite die Einheitsmatrix zu machen durch Umformung. Also durch den Gauß-Algorithmus möchten wir jetzt hier aus dieser Seite die Einheitsmatrix machen und dabei entsteht hier eine neue Matrix und das ist dann die Inverse. Das werden wir uns jetzt gleich einmal anschauen. So, also wie war das mit der Matrix? Nehmen wir uns irgendeine Matrix, jetzt haben wir eine neue Matrix, macht nichts. Wir wollen die jetzt invertieren. Was wir zunächst machen, ist, dass wir diese Matrix in die Dreiecksform bringen oder bringen müssten. Müssen wir nicht, wir sehen, die hat schon Dreiecksform. Und wir multiplizieren jetzt die untere Zeile mit -3 und addieren sie zur oberen Zeile, da bekommen wir die 3 dort weg. Was entsteht jetzt? 0+2 ergibt 2, -3×1 zur 3 addiert ergibt 0, genau das, was wir auch wollten. So -3×0=0 plus 1=1 und -3×1=-3 plus 0 ergibt -3. Jetzt teilen wir noch die obere Zeile durch 2 oder multiplizieren sie mit ½ und heraus kommt 1 0 1, die untere Zeile lassen wir so, wie sie ist. Das, was jetzt hier steht, das ist die inverse Matrix zur Matrix 2 3 0 1, die Matrix hier oben, die wir Matrix A nennen. Wollen wir jetzt mal überprüfen, ist das wirklich so, dass beide invers sind. Stellen wir mal das Produkt der beiden Matrizen her. ½-3/2, 0 und 1. Und in der Tat, das mit dem ergibt 1. Diesen Vektor mit dem zusammen skalar multipliziert ergibt 0. Den Vektor mit dieser, was haben wir da. Also -3+3=0, dann den Vektor mit diesem Zahlenvektor skalar multipliziert ergibt 0 1. Also in der Tat, das ist eine inverse Matrix, die dieses Symbol auch verdient. Hätten wir das auch mit unserer Formel heraus bekommen? Ja mit einiger Sicherheit. Was ist die Determinante? Die Determinante dieser Matrix A ist 2, müssen wir durch die Determinante teilen. Dann vertauschen wir die beiden und die beiden bekommen ein negatives Vorzeichen. Den Faktor ½ reinmultiplizieren und dann sehen wir, dass wir diese Formel hätten anwenden können. Also wir sehen, das ist genau die inverse Matrix und wir sehen, das funktioniert gut. Und was wir jetzt noch einmal machen, dass wir den Gauß-Algorithmus an einer etwas größere Matrix vorführen. Das war ein sehr einfaches Beispiel. Man bringt also, wenn sie nicht schon in Dreiecksform ist, die Matrix in Dreiecksform und versucht dann über diverse Rechenschritte, also durch Multiplikation und Addition von Zeilen, diese Seite zur Einheitsmatrix zu machen und das, was dabei währenddessen auf der rechten Seite entsteht, ist die inverse Matrix zu dieser. Wollen wir uns mal anschauen - nehmen wir uns mal eine einfache Matrix B und nehmen wir mal an, die hat eine Diagonalform. Dann sieht das Ganze - geben wir ihr hier eine -10 - so aus. Die Frage ist, wie invertiert man diese Matrix. Das ist besonders einfach. Wir müssen nur die Hauptdiagonalelemte als Zahlen invertieren. Also 1/5, -1/10. Das war es schon. Bei Diagonalmatrizen ist das sehr sehr einfach, also solche Matrizen, die nur Einträge auf der Hauptdiagonale haben. Prüfen wir das mal nach, ob das überhaupt richtig ist. Wie können wir die miteinander multiplizieren? Schreiben wir zunächst einmal das Ganze hin hier. So, wie geht das? Diesen Vektor durch diese Matrix gezogen, was passiert da? Wenn wir den Spaltenvektor mit den Zeilenvektor multiplizieren, bekommen wir eine 1. Wenn wir den hier mit dem skalar multiplizieren, bekommen wir eine 0 und hier auch. 0 0. Den hier multiplizieren mit dem, skalar multiplizieren mit dem, diesen Spaltenvektor mit diesem Zeilenvektor, das ergibt eine 0. Dann mit diesem ergibt eine 1, mit dem Unteren wieder eine 0. Und zu guter Letzt nehmen wir noch den und ziehen ihn durch die Matrix. Das ergibt mit dem skalar multipliziert 0, der Spaltenvektor mit diesem skalar multipliziert ergibt auch 0 und jetzt zu guter Letzt noch einmal 1/10×-10, das ist 1. Und wir sehen also, wie einfach es also ist, Diagonalmatrizen zu invertieren. Und das war es auch schon zu inversen Matrizen. Wollen wir uns mal anschauen - nehmen wir uns mal eine einfache Matrix B und nehmen w wir mal an, die hat Diagonalform. Dann sieht das Ganze - geben wir ihr hier eine -10 - so aus. Die Frage ist, wie invertiert man diese Matrix. Das ist besonders einfach. Wir müssen nur die Hauptdiagonalelemte als Zahlen invertieren. Also 1/5, -1/10. Das war es schon.  So, dann wollen wir uns mal eine etwas schwierigere Matrix nehmen. Eine 3 Kreuz 3 Matrix, die nicht gerade Diagonalgestalt hat, sondern ein paar mehr Einträge, die nicht 0 sind. Wollen wir uns mal zur Aufgabe machen, diese Matrix - wie immer nenne wir sie A - zu invertieren. Wie machen wir das? Wir bringen das erst einmal in unser Schema. Also wir schreiben uns die Matrix noch einmal hin und - achso, das nehm ich mal raus. Machen wir hier mal eine 7, da soll eine 7 stehen. Machen wir es mal ein bisschen schwieriger, nehmen wir eine 7. Hier schreiben wir uns neben die Einheitsmatrix hin. Und was wir jetzt also versuchen, ist, dass wir aus dieser Seite die Einheitsmatrix machen über den Gauß-Algorithmus. Dann entsteht hier eine neue Matrix und was dann hier steht, wird dann die inverse Matrix sein. So, was machen wir zuerst? Was mir erst mal ins Auge fällt, wir können die obere Zeile zur unteren addieren und damit diese -1 wegbekommen. Die 2 bekommen wir auch leicht weg, indem wir die obere Zeile - und zwar das -2-Fache der oberen Zeile - zur unteren addieren. So, dabei bleibt nur die Obere, wie sie ist. Das Ziel ist zunächst erst mal, aus dieser Matrix eine obere Dreiecksmatrix zu machen. Sodass also hier nur Nullen stehen und die Einträge hier oben von 0 verschieden oder zumindest sollen diese 3 Zahlen hier 0 sein. Also fangen wir an. Die obere Zeile zur unteren, die erste Zeile zur Zweiten, was ergibt das. Die erste  Zeile bleibt so, wie sie ist. Die Zweite, da verschwindet dieses Element, dann haben wir hier die 5 1 1 1 0. So, das -2 von der oberen Zeile zur unteren addiert, das ergibt hier eine 0, das ergibt eine 5, 0-1=-1,  -2+0=-2, dann 0 und hier dann bleibt die 1 übrig. So, das ist der erste Schritt. Als Nächstes wollen wir gerne diese 5 dort weg bekommen. Wie geht das? Ganz einfach. Wir addieren die obere Zeile, und zwar das -1-Fache der oberen Zeile zur unteren. Was ergibt das? Die oberen Zeilen bleiben so, wie sie sind, unbeschadet. Und das ist 0. Jetzt das -1-Fache zu 5 addieren, dann passiert auch genau das, was wir erzählt haben oder angepeilt haben. So jetzt haben wir hier also -2, -3, -1 und 1. Was müssen wir als Nächstes tun? Als Nächstes wollen wir diese Einser wegbekommen. Also was wir erreicht haben, ist, dass wir aus dieser Matrix eine obere Dreiecksmatrix gemacht haben, das ist schon mal ganz wichtig. Und jetzt ist es sehr sehr einfach, daraus eine Diagonalmatrix zu machen und aus der Diagonalmatrix lässt sich dann ganz leicht die Einheitsmatrix machen. Also wir addieren wieder die untere Zeile zur oberen, die Dritte zur Zweiten. Aber multiplizieren vorher die zweite Zeile mit 2. So, dann schreiben wir uns die Matrix noch einmal hin. Das Zweifache dieser Matrix. Ok das heißt also das ist 10 in diesem Fall, dann -2+2=0, genau das, was wir haben wollten. 2 und -3, das ist 1. 2 und -1, das ist 1. 0 und 1 ist 1 und die untere Zeile bleibt so, wie sie ist. Damit haben wir fast schon das Ziel erreicht. Jetzt müssen wir nur noch die 2 wegbekommen und dann haben wir die Matrix auf Diagonalgestalt gebracht. Was müssen wir dazu tun? Wie multiplizieren das mit 5 und addieren die zweite Zeile zur Ersten. Was passiert? Also das ergibt dann 5, dann da wird 0 draus, -2×5 ergibt -10 plus 10=0. 0 und hier oben 5 und -1=4. 0 und 1 ist 1. Gut und dann haben wir es geschafft, wir haben Diagonalgestalt und dann ist der Weg zur Einheitsmatrix nicht mehr weit. Wir müssen jetzt nur noch hier die Zeile durch den Diagonaleintrag dividieren und das ist das, was wir bisher erreicht haben. Jetzt dividieren wir die obere Zeile durch 5, die Zweite durch 10 und die Letzte durch -2, dann haben wir hier die Einheitsmatrix und was dann hier steht, wir dann die inverse Matrix sein der Matrix A. So, was passiert? Wir teilen die obere Zeile durch 5. Dann steht hier 4/5, 1/5, 1/5. Die zweite Zeile durch 10. Dann haben wir hier -1/10, 1/10 und noch mal 1/10. Was ist mit der Unteren? Die Untere teilen wir durch -2, dann haben wir 3/2, ½ und -½. So und das ist dann das Ergebnis. Was wir dann hier sehen, ist die inverse Matrix A^-1. Das wollen wir doch gleich mal überprüfen, weil wir gerade dabei sind. Versuchen wir mal zu überprüfen, ob das tatsächlich die richtige inverse Matrix ist, die wir berechnet haben. So, was haben wir hier? 4/5, 1/5, 1/5. -1/10, 1/10, 1/10. 3/2, ½, -½. So, dann wollen wir das mal ausrechnen. Schaffen wir uns Platz. Also das soll die inverse Matrix sein, das überprüfen wir jetzt mal. Was ergibt dieser Vektor durch diese Matrix gezogen? Was ergibt erst mal dieser Vektor mit dem? Das ist 4/5+1/5 das ist natürlich 1, das ist genau das, was wir auch wollen. Wir wollen nicht, dass wir uns verrechnet haben. Jetzt nehmen wir diesen Vektor und skalar multiplizieren ihn mit diesem Zeilenvektor, was passiert hier? -4/5, bekommen wir das im Kopf hin? -4/5-7/10, da machen wir eine Nebenrechnung. -4/5-7/10+3/2. Was sind 3/2? Bringen wir das mal auf den Nenner 10. Wie viele Zehntel haben wir denn hier? Da haben wir also -8/10, hier haben wir 7/10, das sind -15/10 und das ist in der Tat 0, weil das hier 15/10 sind. So, also das ist dann 0, super. Jetzt bringen wir noch das zusammen. Wie viele Fünftel haben wir da? 8/5-1/10 und dann noch -3/2. Das muss jetzt 0 ergeben. Ist das denn wirklich so? Hier hinten haben wir also -15/10 und -16/10 und das sind ja wohl 16/10, kommt 0 heraus, super. Nehmen wir das Nächste. Und so geht das immer weiter. Machen wir das mal weiter. So, 1/5-2/10. Was ist das eigentlich, das ist ja auch 1/5, also können wir das schon mal gleich weglassen und was jetzt hier noch steht, ist die 0, also kommt 0 heraus. Also auch hier die 0. Wenn wir diesen Spaltenvektor mit diesem Zeilenvektor multiplizieren, kommt die 0 heraus. So, was ist hiermit? Da haben wir -1/5+7/10+½ und das soll, was soll das sein? Wir wünschen uns hier an dieser Stelle eine 1. Ist das denn realisierbar? Wie viele Zehntel haben wir denn hier? Hier haben wir 5/10-2/10 sind 3/10. 3/10 und 7/10 sind tatsächlich 1, super. Also eine 1. Dann nehmen wir diesen Vektor jetzt und skalar multiplizieren ihn mit diesem Zeilenvektor. Was haben wir denn? 2/5+1/10-½. So was haben wir denn da? Was wünschen wir uns? Wir wünschen uns eine 0. Mal schauen, ob das realisierbar ist. Wir haben also 5/10 - wie viele Zehntel haben wir denn hier, also hier haben wir -5/10 und 4/10, das ist -1/10. Tatsächlich +1/10 sind wir bei 0. Also eine 0. So,  jetzt noch diesen Vektor durch die Matrix ziehen. Was ist das da? 1/5-2/10 das ist auch wieder 1/5, weg. Und 0. Super, eine 0. So 1/5 - wir rechnen das gleich mal in Zehntel um, dann geht das schneller. Also hier haben wir -2/10+7/10 sind 5/10, ist ½. -½=0, wunderbar. So, also alles in Zehntel umrechnen. Wie viel haben wir hier? 4/10+1/10 sind 5/10, ist ½. Plus ½ ist 1. Also wir sehen, diese Matrix ist tatsächlich die inverse Matrix. Wie haben wir die berechnet? Über den Gauß-Algorithmus und damit können wir auch ganz zufrieden sein. Es gibt noch andere Algorithmen, mit denen sich inverse Matrizen berechnen lassen. Aber wir belassen es hier in diesem Video dabei, dass wir den Gauß-Algorithmus gesehen haben. Dann bedanke ich mich und tschüss.            

Informationen zum Video
8 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Lothargraze:
    Wenn du technische Probleme mit dem Video hast, dann wende dich bite an den support@sofatutor.com.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Es fehlt bei den Videos der Anklickpunkt:
    Hat mir nicht geholfen!

    Von Lothargraze, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Hallo Lufthansa,
    in der Linearen Algebra, also derjenigen mathematischen Theorie, die sich mit Matrizen und Vektoren beschäftigt, spielen Determinanten eine zentrale Rolle. Es wurden viele (z.T. nur für Mathematiker) interessante Zusammenhänge entdeckt. Wichtig ist vielleicht folgendes. In vielen Anwenungen(Physik, Ingenieursprobleme, Wirtschaftsmathematik,...) treten sog.
    lineare Gleichungssysteme auf: A v=w, wobei A eine quadratische Matrix, v und w Vektoren sind und 'A v' die Matrix-Vektor-Multiplikation darstellt. Die Matrix A und der Vektor w sind bekannt, v ist gesucht. Die Determinante von A ist schnell berechnet und sagt schon vor jeder mehr oder weniger aufwendigen Rechnung etwas darüber aus, wie viele mögliche Lösungsvektoren v es geben kann. Ist die Determinante verschieden von Null, gibt es eine Inverse von A und es gibt genau eine Lösung: nennen wir die Inverse B, linksmultipliziert B A v = B w ergibt das: E v = B w, weil B A = E (Einheitsmatrix) und wegen E v = v ist das also v = B w. Dann hat man die Lösung v als Matrix-Vektor-Produkt von B mit dem bekannten Vektor w. Hat man also die Inverse B, kann man für alle möglichen Vektoren w sofort A v = w lösen. Mit der im Vergleich zum Invertieren sehr schnell vollzogenen Berechnung der Determinante kann man vorab schon mal klären, ob es nicht vielleicht Zeitverschwendung ist, nach einer Inversen zu suchen. Ich hoffe diese Antwort ist für Dich verständlich ausgefallen.
    Grüße, Lutz

    Von Lutz Klaczynski, vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    Hallo Lutz,

    bist Du mal so lieb und kannst mir helfen? Ich verstehe nicht, wozu ich die Determinanten und eine Inverse berechnen soll- was soll ich damit dann machen?
    Deine Video´s sind super- Du gibst Dir super viel Mühe- Danke!
    Liebe Grüße

    Lufthansa

    Von Lufthansa, vor mehr als 6 Jahren
  5. Default

    Ich finds auch sehr gut.

    (Vielleicht nächstes Mal so schneiden, dass es sich nicht wiederholt)

    Von Deleted User 2550, vor fast 7 Jahren
  1. Ich

    bin begeistert. und schließe mich meinem Vorredner an. Weiter so !!

    Von Der Dude, vor etwa 7 Jahren
  2. Default

    Top!! klasse sache
    Weiter so!!!

    Von O0 Qh0o, vor etwa 7 Jahren
  3. Alex1

    Deine lockere und sichere Erklärung rockt - klasse Lehrfilm! Außerdem eine sehr gute Beschreibung unter dem Video. Gerne mehr davon Tutor Lutz!

    Von Alexander Weise, vor etwa 7 Jahren
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