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Transkript Integration durch Substitution – Erklärung

Hallo! Wir machen die Methode der Integration durch Substitution, und zwar ganz allgemein und in beiden Richtungen, wie man so sagt oder in beiden Fassungen und das werde ich also in diesem Film erklären. Wenn du nichts verstehen möchtest, sonder nur daran interessiert bist etwas in Formeln einzusetzen, brauchst du diesen Film nicht zu gucken. Dann gucke bitte die Filme, in denen die Beispiele durchgerechnet werden, denn in diesem Film möchte ich erklären, wie man die Integration durch Substitution verstehen kann. Ja dazu, bevor man es natürlich versteht, muss man erst mal sehen, was das ist. Und das hier ist die ganze Formel, ganz allgemein, beide Richtungen, alles ist da drin. So und möchte mal anfangen hier in der Mitte das Ganze zu erklären, und zwar in dem Schritt von hier nach da. Um den zu erklären, möchte ich den Schritt von hier nach da erklären. Das geht folgendermaßen. Wir haben eine verkettete Funktion F(g(x)). Wenn wir die ableiten, bekommen wir f(g(x))×g'(x). Nach der Kettenregel der Differenzialrechnung. Ja, Kettenregel der Ableitung. Wenn wir jetzt integrieren möchten, dann suchen wir ja eine Funktion, deren Ableitung das ergibt. Naja und das ist so eine Funktion, weil ja die Kettenregel der Differenzialrechnung gilt. Das heißt jetzt, also wenn du eine Funktion vorfindest, die so eine Struktur hat, dann brauchst du nur noch diese Funktion f integrieren und g(x) kannst du einfach hinschreiben und g'(x) kannst du einfach wegschmeißen. Denn das brauchen wir nicht mehr, kann man so sagen. Und dann hast du schon eine Stammfunktion von dieser Funktion hier. Ja, warum heißt das jetzt Substitution? Von hier nach da ist ja eigentlich nichts substituiert worden. Naja man kann sich halt vorstellen, dass man statt des g(x) z einsetzt, das heißt wir haben letzten Endes f(z) und dafür suchen wir eine Stammfunktion und wir finden die Stammfunktion für f(z), indem wir F(z) bilden. Wenn man dann noch das z durch g(x) ersetzt wieder, also rücksubstituiert, wie man so sagt, dann erhält man dieses hier. Und das ist dann eben hier die gesuchte Stammfunktion oder eine gesuchte Stammfunktion zu dieser Funktion. Was ich noch sagen wollte. Wenn du unsicher bist, wie solche Funktionen aussehen, also wie du erkennen kannst, ob du eine Funktion so auf diese Weise mit der Umkehrung der Kettenregel integrieren kannst, dann kannst du das einfach damit rausfinden, dass du verkettete Funktionen ableitest. Denn jede Ableitung einer verketteten Funktion sieht so aus und dann weißt du auch, auf welche Funktionen du diese Methode der Integration durch Substitution anwenden kannst. So jetzt kommt aber die 2. Fassung, beziehungsweise die andere Richtung wie man so sagt, und zwar der Schritt von hier nach da. Ja? Wir haben ∫f(z)dz, das ist ein dz, das ist ein bisschen verrutscht, gleich ∫(f(g(x))×g'(x)dx). So und da muss man sich jetzt als kritischer Lernender fragen: Also, was soll das? Hier steht mit Sicherheit eine andere Funktion, als da. Einmal, weil sie anders aussieht und zweitens haben wir eine andere Variable auch noch. Wieso ist das gleich? Moment. Beide Funktionen sind nicht gleich. Was wir suchen, sind Stammfunktionen dieser Funktion f(z) und tatsächlich sind die Stammfunktionen, die man durch diese Sache hier herausbekommt, Stammfunktionen von f(z). Ja, warum ist das der Fall? Wir ersetzen hier das z durch g(x), das heißt also diese Integrationsvariable wird durch eine Funktion ersetzt und wir multiplizieren zusätzlich noch mit g'(x). Wir wissen, dass hier eine solche Stammfunktion herauskommt. Das ist eine Stammfunktion dieser Funktion hier. Und wir wissen auch, dass wir statt z g(x) geschrieben haben, dann können wir auch wieder statt g(x) z schreiben und haben dann F(z). Und F(z) ist natürlich eine Stammfunktion von f(z), denn so ist das ja definiert. Das bedeuten diese Bezeichnungen, ja? Und wir haben ja hier auch tatsächlich etwas integriert, nämlich im Schritt von hier nach da haben wir ja dieses f zu F integriert, deshalb ist das schon eine Stammfunktion und die Stammfunktionen, die also hier rauskommen, sind die Stammfunktionen, die auch hierzu passen. Das sind die gleichen Stammfunktionen, obwohl das hier eine völlig andere Funktion ist. Und nur die Stammfunktionen müssen ja gleich sein, ja?Da muss ein bisschen daran gewöhnen vielleicht an diesen Gedanken, dass man eine ganz harmlose Funktion f(z) vorfindet und diese Integrationsvariable z ersetzt durch eine andere Funktion, dann auch noch mit der Ableitung dieser Funktion multipliziert und trotzdem die gleichen Stammfunktionen rauskommen. Aber, wie ich erklärt habe hier mit dieser Überlegung, kann man verstehen, dass das wirklich der Fall ist, ist aber wahrscheinlich etwas, was dir bisher noch nicht so untergekommen ist. Nehme ich mal an. Dass also bei solchen Ersetzungen also Stammfunktionen herauskommen. Dann kann man sich wieder als kritischer Lernender fragen: Was soll das Ganze? Also nicht nur, dass das hier komplizierter aussieht, es ist ja auch Folgendes passiert. Wir haben hier f stehen. Wir haben hier auch f stehen und integrieren dann dieses f zu F. Das hätten wir auch einfacher haben können. Wir hätten dann auch gleich hier das f integrieren können. Warum dann so kompliziert? Der Trick dabei ist, dass man diesen Ausdruck umformen kann und dass der dann viel einfacherer wird, als der. Also um genauer zu werden, wir können, wenn wir Glück haben und dass die Funktion hergibt, dieses z hier so durch eine Funktion g(x) ersetzen, dass bei der Multiplikation dann auch noch mit g'(x) das Ganze hier sich quasi in Lust und Wohlgefallen auflöst. Dass also das, was hier rauskommt, viel einfacher wird, als das was da steht. Muss man aber geschickt ersetzen, ja? Aber das ist der Trick an der Sache. Wenn man das so ersetzen kann, ist das tatsächlich einfacher und wir können dann einfacher integrieren.  Und auch da meine ich muss man noch mal nachhaken, denn wenn man letzten Endes nicht f integriert, sondern quasi was anderes, was sich jetzt hier so ergeben hat, dann ist natürlich die Frage: Warum kommt dann F raus, wenn hier f eigentlich nicht mehr da steht? Und das kann man sich folgender Maßen vorstellen. Ich möchte das mal grafisch erklären. Wir haben zum Beispiel hier eine Funktion, irgendwie ich sage mal h(x). H deshalb, damit du hier nicht durcheinander kommst mit den anderen Bezeichnungen. So, wenn wir jetzt h integrieren zu H(x) dann passiert ja folgendes. Wir haben hier zum Beispiel ein bestimmtes x und einen bestimmten Funktionswert und wir interpretieren jetzt diesen Funktionswert hier, diese Höhe also, als Ableitungswert und suchen eine Funktion H(x), die eine solche Ableitung an dieser Stelle x hat, an dieser bestimmten Stelle. Ich könnte auch sagen x=0 ist jetzt egal. Ich meine hier ein bestimmtes x. Das ist quasi die Suche nach Stammfunktionen oder der Prozess der Integration. Wenn wir aber jetzt h(x), also diesen Funktionsterm h(x) umformen, wir machen eine Termumformung, und zwar eine korrekte Termumformung, dann bekommen wir einen Term, der ergebnisgleich ist. Das bedeutet, wir haben einen Term, der umgeformt wird zu einem neuen Term und wenn wir beide Terme eine bestimmte Zahl einsetzen, so eine Zahl, dann bekommen wir gleiche Ergebnisse. Das ist ja der Sinn der Termumformung. Das heißt also, wenn wir h(x) irgendwie umformen, aber trotzdem gleiche Ergebnisse bekommen, bekommen wir auch die gleiche Stammfunktion, wie vorher, oder gleiche Stammfunktionen, korrekterweise gesagt. Das heißt also, wir können diesen Term hier, diesen Funktionsterm munter umformen, wie auch immer, wir kriegen gleiche Stammfunktionen raus. Auch das ist eine Sache, ja, wenn das neu ist, muss man sich mal ein bisschen daran gewöhnen. Also, vielleicht hat man das erwartet. Es wäre ja auch vielleicht komisch, wenn man Stammfunktionen definieren würde und die sich immer wieder ändern, wenn man jetzt Termumformungen macht, aber hier ergebnisgleiche Terme bekommt. Das wäre schon komisch. Also vielleicht hat man es erwartet. Aber immerhin. Wir können das sonst wie umformen und kriegen immer gleiche Stammfunktionen, obwohl dann tatsächlich dieses f, das f, was hier mal stand, hier nach der Umformung gar nicht mehr zu sehen ist. Trotzdem kommt F raus oder hier eben H. So, damit du dir das vielleicht mal etwas konkreter vorstellen kannst, möchte ich hier ein besonders einfaches Beispiel zeigen, und zwar haben ∫(z2dz) und das können wir substituieren, also wir können z substituieren durch, die jetzt hier etwas unsinnige Substitution, sage ich mal, von 2x. Also z wird durch 2x ersetzt und dann haben wir 2x2 und müssen jetzt noch die Ableitung dazu multiplizieren. Also das ist der Schritt von hier nach dort, ja? Ich habe jetzt statt z habe ich g(x) geschrieben, g(x)=2x und jetzt multipliziere ich noch mit der Ableitung und dx kommt dahinter. Übrigens dx ist ja keine Multiplikation. Hier steht nicht mal dx. Ich wollte noch mal darauf hinweisen, weil in vielen Erklärungen der Substitutionsregeln das so behandelt wird, als ob das Faktoren wären, es sind aber keine. Wollte ich nur noch mal gesagt haben. Also das können wir jetzt integrieren, indem wir einfach das hier Integrieren, also die (2x)2 integrieren und dann kriegen wir 1/3×(2x)3+c korrekterweise, muss man dazu sagen und das ist gleich 1/3×z3+c. Okay, ich muss nämlich eben gucken, ob ihr das alles richtig gemacht habt. Wenn du unsicher bist, warum das Ganze hier funktioniert, kannst du einfach so ein Beispiel nehmen und dann mal alles durchrechnen und dich davon überzeugen, dass das wirklich funktioniert und dass da auch überall die richtigen Zahlen rauskommen. Und dieses Beispiel hier ist besonders einfach, weil wir ja hier zum einen die Funktion z2 haben, die so aussieht. Und das ist ja immer so das Beispiel, mit dem man in der Integralrechnung anfängt und wir haben eine Stammfunktion, die dann 1/3z3 ist die ist also so nur noch ein bisschen steiler, sage ich mal, so ungefähr. Und wenn du dir jetzt überlegst, wieso kommen da dieselben Werte heraus eigentlich, wenn ich das hier integriere und das hier integriere, dann kannst du zum Beispiel mal die Auswertung bei x=4 machen, hier ist also eine 4 und mal einsetzen, was denn rauskommt, wenn du für z 4 einsetzt. Und wenn du dir jetzt überlegst, wieso kommen da dieselben Werte heraus eigentlich, wenn ich das hier integriere und das hier integriere, dann kannst du zum Beispiel mal die Auswertung bei x=4 machen, hier ist also eine 4 und mal einsetzen, was denn rauskommt, wenn du für z 4 einsetzt. Also Stammfunktion von oberer Grenze minus Stammfunktion von unterer Grenze. Und hier kann man das besonders einfach sehen, weil ja Stammfunktion von unterer Grenze, die untere Grenze ist, hier 0, wenn wir diese Fläche bestimmen wollen, und diese Stammfunktion hier, also mit c=0, die ist auch 0 an der Stelle. Das heißt, wenn wir also die Fläche hier bestimmen wollen, müssen wir einfach in diese Stammfunktion hier 4 einsetzen. Und das kann man auch erreichen, man kann das gleiche Ergebnis erreichen, wenn man für x etwas einsetzt. Nun setzt man für x aber nicht irgendetwas ein, sondern der Trick jetzt ist, wenn man also bestimmte Integrale ausrechnet, dass man für x hier eine solche Zahl einsetzt, dass g(x), also in dem Fall 2x, gleich 4 ist. Ja, wenn wir hier jetzt wissen wollen, wie groß ist dieses Integral hier von 0 bis 4, dann würden wir hier so etwas für x einsetzen, dass 2x=4 ist. Und dann sieht man hier schon an diesem Funktionsterm, wenn ich hier den Wert haben will für z=4 und hier etwas für x einsetze, sodass die Klammer hier gleich 4 ist, dann kriege natürlich auch dieselben Werte raus. Also damit ist glaube ich auch dieses Mysterium gelüftet: Warum kriegt man gleiche Werte raus, wenn man eine andere Funktion nimmt und auch andere Werte für x einsetzt? Ja das geht deshalb, weil man solche Werte einsetzt, dass dann wieder das Richtige rauskommt, kann man so sagen. Ja und das glaube ich soll jetzt mal an Erklärungen reichen und ja damit bin hier am Ende. Viel Spaß damit, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    Gut erklärt! Danke.

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Schön anschaulich erklärt.
    Mir gefällt, dass deine Redegeschwindigkeit äquivalent zu meiner Denkgeschwindigkeit ist.
    Da geht es aber bestimmt jedem anders.

    Von Wolfgang M., vor fast 7 Jahren