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Transkript Integration durch Substitution – Beispiel (3)

Hallo. Wir machen eine Substitution, eine Integration durch Substitution, und zwar soll die Integrationsvariable substituiert werden durch einen Term oder auch durch eine Funktion, je nachdem wie man das auffassen will. Wir machen also den Schritt von hier nach da und integrieren so auf diese Weise. Das Beispiel, was hier steht, verwendet andere Variablen. Wir haben zunächst eine Funktion gegeben, die die Integrationsvariable x hat und die wird durch einen Ausdruck mit z ersetzt, hier in dieser Formel ist es umgekehrt, ich hoffe das bringt Dich nicht durcheinander. Sie ist aber trotzdem richtig. Also, wir haben diese Funktion x/\sqrt(1-x) und wir müssen uns am Anfang überlegen, was können wir hier ersetzen, wie könnten wir etwas ersetzen. Und da könnte man zunächst auf die Idee kommen, dass man z=1-x setzt. Dann würde ja, wenn man dann umformt und in x diesen Ausdruck einsetzt, der dann herauskommt, dann würde man nur noch \sqrt(z) dastehen haben. Und im Zähler hier oben muss man mal gucken, was da passiert, das ist wahrscheinlich nicht so wichtig. Das wäre durchaus vernünftig, aber ich möchte hier mal was anderes zeigen. Und zwar wäre es vielleicht noch cooler, wenn 1-x=z2 ist. Denn wenn man dann für das x 1-z2 einsetzt, dann bleibt ja hier unten, unter der Wurzel z2 stehen und die Wurzel aus z2 ist dann einfach=z, das heißt, dann hätten wir die Wurzel auch noch weg. Und wie das geht, das möchte ich jetzt mal zeigen. Übrigens bei der ganzen Betrachtung hier ist zu beachten, dass wir bestimmte Definitionsbereiche haben, das erwähne ich aber jetzt nicht jedes mal, sondern ich möchte hier einfach zeigen, wie die Substitution geht und wie die Regel der Substitution hier funktioniert. Also, wir wollen, dass 1-x=z2 ist, das bedeutet, wir müssen diese Gleichung nach x umformen und dann ist x=1-z2 und das ist unsere neue Funktion g(z). Wir brauchen noch die Ableitung, g'(z), die ist dann einfach -2z und die Funktion f(g(x)), also dieses Ding letzten Endes hier in der Formel, ist (1-z2)/\sqrt(1-(1-z2)). Und da habe ich einfach jeweils für x hier, da und da 1-z2 eingesetzt, mehr ist nicht passiert. So, dann kriegen wir Folgendes hier ganz ausführlich dargestellt: Wenn wir jetzt diese schöne Formel hier verwenden wollen, dann brauchen wir ja f(g(z)) in unserem Fall hier und das ist das, was hier steht. Dann müssen wir noch mit der Ableitung g'(z) multiplizieren, also ×-2z. Und das Ganze dann integrieren, wir suchen das unbestimmte Integral von diesem ganzen Zeugs hier. Und das kann man jetzt schön vereinfachen, wir haben erst mal hier die 2 nach vorne geschrieben und dann 1-z2 mit -z, was dann noch übrig bleibt, multipliziert. Hier unten haben wir unter der Wurzel 1-(1-z2), das ist einfach plus z2 und das steht da. Ja, dann kann man noch weiter umformen und das habe ich auch mal vorbereitet. Wir kriegen dann nämlich, weil ja die Wurzel aus z2=z ist, zumindest in dem Definitionsbereich, wo wir uns hier bewegen, deshalb kann man im Nenner einfach z schreiben und dann haben wir hier eine Situation, dass wir im Zähler auch noch z ausklammern können. Wir können das z nun auch noch kürzen und übrig bleibt also noch z2-1, was es jetzt gilt zu integrieren. z2-1, das ist nun überhaupt kein Problem mehr, hoffe ich, das geht sofort ratz fatz und auch das habe ich hier schon mal vorbereitet. Es kommt raus 2/3z3-2z+C, wir suchen ja eine Stammfunktion oder Stammfunktionen und deshalb kommt das +C noch dahinter, weil ja beim Ableiten das C verschwindet, eine konstante Zahl soll das sein, also wenn man hier irgendwelche Zahlen einsetzt, dann ist alles, was da rauskommt immer wieder eine Stammfunktion dieser Funktion z2-1. Und was jetzt noch fehlt, ist das Resubstituieren, manchmal sage ich dazu Rücksubstituieren, das ist nicht ganz korrekt, es heißt Resubstituieren. Also möchten wir das jetzt resubstituieren und jeweils für z die \sqrt(1-x) einsetzen. Und da habe ich eins so ein bisschen unterschlagen, nämlich hier, wir wissen, dass 1-x=z2 ist. Ich habe hier aber nicht hingeschrieben, was dann z ist. Naja gut, z ist dann die Wurzel aus 1-x und das muss ich jetzt hier auch einsetzen, wenn ich als z jeweils ersetzen möchte. Hier habe ich dieses z dann einfach durch \sqrt(1-x) ersetzt, und hier auch  Und dann bleibt als Exponent ja noch 3/2 stehen, weil ja die Wurzel aus 1-x=(1-x)1/2 ist und wenn man das dann mit 3 potenziert, dann kommt hoch 3/2 raus. Ich sage das deshalb so ausführlich hier an der Stelle, weil ich weiß, dass da immer wieder Schwierigkeiten auftreten, dass man sich wundert "wie kommt der auf so etwas?" Hier nur die Erläuterung und ich hoffe, dass mehr Erläuterung mehr Klarheit bringt, als zu wenig Erläuterung. Nun, wir sind jetzt hier fertig, das ist eine Stammfunktion, bzw immer wenn man eine Zahl für C einsetzt, erhält man eine Stammfunktion der Funktion x/\sqrt(1-x), oder wenn das C weglässt, das ist das unbestimmte Integral dieser Funktion hier. Man kann hier noch einiges umformen, das habe ich jetzt weggelassen, man kann hier noch \sqrt(1-x) ausklammern und so Scherze machen. Ich weiß nicht, ob das nötig ist, ob das gut ist. Also viel schöner wird das ganze Ding dadurch nicht. Und hier haben wir wieder die Situation, dass es Ansichtssache ist, was hier letzten Endes das Ergebnis ist. Ich mache hier einfach Schluss und ich finde das ist schön genug. Viel Spaß damit. Tschüss

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