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Transkript Integration durch Substitution – Beispiel (2)

Hallo, hier kommt ein Beispiel zur Integration durch Substitution, und zwar durch Substitution der Integrationsvariablen. Und weil's so viel Spaß macht, möchte ihr hier noch einmal die Supidupi-Gleichungsformel zur Integration durch Substitution hochhalten. Also wir interessieren uns hier in dieser Aufgabe von dem Schritt von hier nach dort. Wir möchten z, diese Integrationsvariable hier, durch eine Funktion ersetzen, durch einen Funktionsterm g(x), und dann müssen wir noch mit g'(x) multiplizieren, und dann integrieren wir hier nach x, das ist die neue Integrationsvariable. Ich habe das hier einmal vorbereitet mit einer Funktion hier, die soll integriert werden. Wir suchen das unbestimmte Integral. Hier ist jetzt die Integrationsvariable x. Das ist anders als hier in dieser Formel, ja, da ist die Integrationsvariable z, es wird dann hinterher, wird in Anführungszeichen zu x. Hier wird das x zu z. Ich hoffe, das bringt dich nicht durcheinander. War aber nötig, wenn man das hier in einem Rutsch schreiben will, dann muss man entweder hier das x und da das z oder da das z und da das x hinschreiben, oder hier das x und da das z hinschreiben. Und, ja, ich habe es so herum gemacht. Man kann ja auch von hier nach da schließen und nach da schließen, und dann kommt man von x auf z und das ist. Irgendwo musste das z und irgendwo musste das x stehen. Ich hoffe, das ist kein Problem für dich. Also, es geht los hier mit dieser lustigen Funktion, die integriert werden soll. Und wie kommt man jetzt hier auf so eine Ersetzung. Wir möchten also, das ist unser Wunsch, der hier steht, wir möchten, dass 2x+5 gleich z ist. Darauf kommt man, indem man sich überlegt, das Problem, das wir hier bei dieser Funktion haben, bei diesem Term, ist, dass wir eine Summe haben, die im Nenner steht und die auch noch mit 3 potenziert wird. Das ist irgendwie doof, das kann man nicht so gut integrieren. Und deshalb wäre das irgendwie ganz cool, wenn man hier keine Summe mehr hätte, sondern wenn da einfach nur in der Klammer z stehen würde zum Beispiel. Irgendetwas geteilt durch z3, das ist kein Problem, ja, das kann man integrieren. Was dann hier oben passiert, wenn wir x durch etwas anderes ersetzen, also durch so einen Ausdruck, in dem z vorkommt, das wird man dann noch sehen, aber erfahrungsgemäß ist das halt etwas einfacher, wenn so ein Zeug da im Zähler irgendwie komisch aussieht und dann mehrere Summanden oder sonst was auftritt, als wenn das im Nenner ist, und dass dann diese Summe auch noch potenziert wird. Und deshalb guckt man halt erst mal, dass man den Nenner da irgendwie glatt kriegt und um den Zähler kann man sich dann später noch kümmern. Also unser Wunsch ist, dass z so gewählt wird, oder dass wir eine Funktion g(z) so bekommen, dass z=2x+5. Und wir können diese Funktion errechnen, indem wir hier umformen, und zwar diese Gleichung nach x auflösen, dann haben wir x=(z-5)/2. Und ich glaube, du kannst es schon sehen. Wenn man statt x hier (z-5)/2 hinschreibt, steht da im ganzen nur noch z hinterher. Und das war ja das, was wir erreichen wollten. So, jetzt muss man hier aber eben ein bisschen gucken, dass wir das formal richtig über die Bühne kriegen. Also wir haben diese Gleichung hier nach x aufgelöst x=(z-5)/2, und das ist unsere neue Funktion g(z). Statt x werden wir hier g(z) ersetzen, also da und a, wo x steht. Dann wissen wir ja, wir müssen noch mit der Ableitung von g multiplizieren. Die Ableitung von g ist ½, ich glaube das sieht man auch direkt, erkläre ich jetzt nicht weiter. Und wir können uns eben noch überlegen, was ist dann diese verkettete Funktion f(g(z)), also das neue Ding, das wir dann integrieren wollen. Und das sieht so aus, f(g(z)), und da habe ich jetzt einfach mal diese beiden x hier ganz stumpf ersetzt durch diesen Ausdruck, und das kommt dann dabei heraus. Ja, das ist dann zunächst ein bisschen komplizierter geworden, kann man so sagen, aber das ist nicht schlimm, denn das, was wir erreichen wollen, kommt noch. Ich habe das auch einmal vorbereitet, was da noch kommt. Das ist ein bisschen hier wie bei Ole Rolf, diese Schweizer Komiker, die immer nur Blätter irgendwohin halten. Ich habe das hier jetzt eingesetzt, also diesen Ausdruck habe ich schon umgeformt hier. Also, ich muss das ja nicht nochmal einsetzen, das weißt du selber, wie das geht. Mal ½ habe ich davorgeschrieben, das ist ja die Ableitung von g(z) und dach der Faktorregel der Integralrechnung weißt du ja, dass man einen Faktor einfach davorschreiben kann. Ich hoffe, ich muss da nichts weiter erklären, warum diese Umformungen hier zustande kommen, das sind alles elementare Sachen hier im Zähler und im Nenner ist einfach das passiert, man hat das einfach hier ausgerechnet und weiter umgeformt, sage ich mal und dann steht da nur noch z und das ist ja genau das, was wir erreichen wollten. Und das sieht jetzt schon eigentlich besser aus. Wir haben den Nennereinfacher bekommen, und das Ganze kann man jetzt hier als zwei Brüche schreiben und dann getrennt integrieren. Das habe ich hier auch noch einmal in allen Einzelheiten hingeschrieben. Ich mache das deshalb so ausführlich, nicht weil ich glaube, dass du nicht rechnen kannst, sondern es ist einfach so, wenn du das nachrechnest, ich hoffe du tust das ja, dass du dir das nicht nur anguckst, sondern dass du das selber auch nachrechnest, sonst lernst du nämlich nichts. Wenn du das also nachrechnest und dich irgendwo bei irgendeiner kleinen Sache vertust, dann ist es bei solchen Rechnungen relativ schwierig, den Fehler zu finden, weil da einfach sehr viele Zahlen stehen. Damit du dann einen möglichen Fehler schneller findest, habe ich das hier dann sehr ausführlich alles hingeschrieben. Ja, es geht weiter in Schweinchenrosa und ich habe hier einfach das unbestimmte Integral gebildet und habe eine Stammfunktion. Das geht ja hier nach Potenzregel, ein z wird gekürzt und 3/2 kann man auch einfach davorschreiben, das multipliziert sich dann hier zu -3/4, da ist jetzt nichts Dolles passiert, hier wird genauso einfach mit Potenzregel der Integration. Das ist glaube ich alles, was man dazu sagen kann, +C korrekterweise noch dahinter, und hier habe ich das einfach noch weiter umgeformt, elementare Rechnungen, wie gesagt, sollte kein Problem sein. Und so, jetzt kommt noch der große Clou am Ende. Wir müssen noch ersetzen, wir müssen das z ersetzen durch 2x+5. Und das kommt jetzt hierhin. Das ist auch so parallelogrammförmig geschnitten, welch eine Dynamik hier. Das kommt raus, wenn wir hier das z jeweils durch 2x+5 ersetzen, sollte auch ein Problem sein. Jetzt kann man hier noch was ausklammern, man kann quasi diesen ganzen Bruch hier ausklammere, denn dieser ganze Bruch steckt ja da noch drin. Habe ich jetzt gelassen. Weiß ich nicht, viel besser wird es dadurch nicht. Und deshalb würde ich sagen, ist das einfach mal hier erledigt. Und hier haben wir die beiden Hübschen nebeneinander. Wir haben das unbestimmte Integral gesucht von dieser Funktion. Da steht es. Wenn man das C weglässt, beziehungsweise wir suchen Stammfunktionen dieser Funktion hier und dann, wenn man das so formuliert, muss das C noch dahin. Das sind die Stammfunktionen, die man erhält, wenn man diese Funktion hier integriert. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    ich verstehe den Schritt bei 05:10 nicht, kann mir den jemand erläutern?

    Von Maya Papaya, vor fast 5 Jahren