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Transkript Integration durch Substitution – Beispiel (1)

Hallo!Hier kommt ein Beispiel zur Integration durch Substitution in der zweiten Fassung - man sagt auch in der Umkehrung - oder man sagt auch, das ist die Substitution der Integrationsvariablen durch eine Funktion. Wir werden hier die Integrationsvariable z durch eine Funktion ersetzen. Solltest du noch nie davon gehört haben, dass es zwei Versionen der Integration durch Substitution gibt, hast du wahrscheinlich nur die erste Version der Fassung gemacht, die ich hier nicht zeige, wenn du nur das wissen willst, was du schon gemacht hast, dann brauchst du diesen Film nicht zu gucken - hier wird auf  jeden Fall die zweite Fassung gezeigt. Wir fangen mit einer Funktion an, die wir integrieren wollen:?z/\sqrt(10z-3)dz .Der Trick soll jetzt darin bestehen, dass wir z ersetzen, und zwar nicht irgendwie, sondern so, das10z-3=x ist. Das wollen wir haben, das heißt, wir wollen eine Funktion von x haben, für die wir einsetzen können und dass bei dem ganzen Zeug hier nur x rauskommt - dann ist das nämlich einfachere geworden. Das kann man so machen, indem was man möchte, mal hinschreiben, wir wollen ja dass10z-3=x ist, und das kann man umformen, dann sind nämlich (x+3)/10=z und das kann man nachprüfen, das ist vielleicht auch das, was man schon einmal ausprobiert hat, oder was du schon mal probiert hast wenn du eine Gleichung mit 2 Variablen hast, und du möchtest die vielleicht schon einmal lösen, dann kann auch schon mal auf den Trichter kommen, dass man sagt, ich löse das mal nach z auf und das z setze ich her wieder ein. Da kommt natürlich nichts raus, wenn man Geleichungen lösen will, dann kommt da einfach x=x raus, denn das, was hier steht, ist ja gleich x. Also man hat nichts gewonnen, kann aber die Variable =x bestimmen. Aber hier hilft uns das halt, wenn wir z ersetzen wollen durch eine Funktion von x. Dann sehen wir nämlich, wenn wir statt z (x+3)/10 schreiben, dann ist der Term hier, der hier unter der Wurzel steht, der ist =x, und das wollten wir ja erreichen.g(x)=(x+3)/10g‘(x)=1/10Dann kann man das hier überall hinschreiben, überall wo z steht, schreibt man jetzt g(x) hin, außer hier hinten, da schreibt man einfach nur dx hin. Und zusätzlich schreibt man auch g´(x), also wir müssen das Ganze auch noch mit g‘(x) multiplizieren. Das darf man nicht vergessen, sonst wird es selbstverständlich falsch. Wie das jetzt aussieht, wenn man das Ganze einzeln hinschreibt, das habe ich hier mal vorbereitet, und das ist jetzt dieser Mega Term, der hier jetzt da rauskommt, aber der ist nur deshalb nur so kompliziert, weil ich einfach stumpf g(x) durch (x+3)/10 ersetzt habe. Hier kann man natürlich viel ändern und ausrechnen. Ich lese das jetzt auch nicht alles, vor was da steht - es ist jedoch auch klar sichtbar. Also wenn man das ein bisschen umformt, haben wir hier 1/10 und dann noch einmal 1/10 multipliziert: 1/100 kommt da raus. Du weißt ja, wenn du integrierst, kannst du solch Faktoren einfach vor das ? schreiben. Dann bleibt hier oben im Zähler nur noch x+3 stehen. Wir haben z durch einen solchen Term von x ersetzt, dass hier noch in der Wurzel x steht, und dann ist das tatsächlich einfacher geworden. So können wir diesen Term hier als 2 Brüche schreiben, nämlich einmal als x+3/\sqrtx. Und x/\sqrtx, da kann man ja 1 Wurzel kürzen, wir wissen ja x=\sqrt×\sqrtx, zumindest für +x, davon gehen wir mal aus, dann können wir also eine Wurzel kürzen, das heißt, ein \sqrtx bleibt übrig, und das ist x^½. Hier im zweiten Bruch bleibt dann die 3 übrig, 3/x steht ja da, und das ist nichts anderes als ^-½, und dx muss noch hinten ran.Dann kann man jetzt hier das Summandenweise integrieren, und auch das habe ich jetzt einfach mal so ganz stumpf hier hingeschrieben, 1/100 bleibt vorne stehen × 1. Summand × 2. Summand + c , kommt auch noch hinten hin, das sei mal vorweggeschickt. X^½ integriert man ja jetzt nach der Potenzregel und das habe ich jetzt einfach mal ohne etwas auszurechnen hierhin geschrieben. Das sieht jetzt etwas raumgreifend aus, ist allerdings nur ganz elementare Bruchrechnung, die jetzt da zum Einsatz kommt. Ich glaube, die Potenzregeln muss ich jetzt auch nicht im Einzelnen erklären. Die Integration der elementaren Funktionen, die elementaren Integrationsregeln sollest du an dieser Stelle können, sonst wird das mit der Integration durch Substitution auch nichts. Wenn man das jetzt vernünftig umformt, dann bekommen wir:1/150×x3/2+3/5x^½+cDas kann man jetzt so nicht stehen lassen - wir müssen ja noch rücksubstituieren. Das bedeutet, wir müssen jetzt für x rücksubstituieren.x=10z- und das müssen wir jetzt hier für x einsetzen. Das könnte man jetzt so stehen lassen, ich habe das jetzt auch nur stumpf eingesetzt, nichts weiter umgeformt. Meistens, wenn du das in Büchern anschaust, ist dann so eine Version angegeben. Wie kommt man auf das untere Zeugs hier? Darauf kommt man, in dem man (10z-3)^½  ausklammert, ganz einfach mit dem Distributivgesetz. Hier steht ja (10z-3)3/2 und das ist ja das gleiche wie ()^½×()1. Da jetz hier überall ()^½  drin steckt kann man das eben auch ausklammern, und ^½  heißt ja \sqrt aus, und so hat man das eben hingeschrieben. Und dann ergeben sich noch ein paar Termumformungen hier in der Klammer, und so kann man die Version eben auch hinschreiben. Das war es zu diesem Beispiel. Es ist viel Schreibarbeit, aber der eigentliche Trick liegt vorne. Der liegt da, wenn wir wollen 10z-3 nur noch x haben, und das kann man sich so vorstellen, dass man erst sagt, ich möchte 10z-3=x haben, ich forme dann um, löse das Ganze nach z auf, und weiß dann, welche Funktion g(x) ist, sodass ich sie hier dann vorteilhaft verwenden kann.Viel Spaß damit. Tschüss.

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