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Transkript Integration durch Substitution – Aufgabe (4)

Hallo, wir machen integrieren durch Substituieren und haben hier eine interessante Funktion, die hat den Term 2^\sqrtx/\sqrtx. Es soll das jetzt integriert werden, und zwar mit dieser Substitutionsmethode, mit dieser Formel. Ich behaupte wir haben hier einen Funktionsterm, der diese Form hat, nämlich f(g(x))×g´(x) und die Frage ist jetzt, wie kommt man da drauf, wie kann man das erkennen, dass dieser Fall hier vorliegt. Als Tipp würde ich sagen, man fängt damit an sich zu überlegen, was könnte denn g(x) sein. Einfach so, ist ein Erfahrungswert, kann man ganz praktisch mit anfangen. Wir haben eine Exponentialfunktion und hatten das auch schon öfter, dass die Exponenten von Exponentialfunktionen, innerer Funktionen sind. D.h. g(x) könnte also \sqrtx sein. Das habe ich hier auch schon einmal aufgeschrieben. g(x) ist die \sqrtx=z. Also das ist dieses z, was hier in dieser Formel vorkommt, das ist einfach jetzt so definiert, das bezeichnen wir so. Das z ist ein Name für g(x). g´(x) ist dann ½×x^-½ bzw. ½×1/\sqrtx. x^-½ bedeutet ja 1/\sqrtx und 1/\sqrtx das kann man hier wohl erkennen .Ich schreib das mal eben neu, dann muss ich das Integralzeichen ein bisschen verschieben, mal nach hierhin z.B., und wir haben 2^\sqrtx, das kann ich jetzt davor schreiben. 2^\sqrtx und da bleibt natürlich auch noch was stehen, nämlich die 1. Das reicht aber nicht für eine Ableitung. Wir brauchen ja noch die Ableitung hier von g(x) und die Ableitung ist ja ½×1/\sqrtx und da können wir wieder den Trick anwenden, dass wir uns ½ einfach dazuschreiben, indem ich hier in den Nenner eine 2 schreibe, so habe ich geschafft, und vor das Integral schreibe ich mal 2. Wenn ich die 2 in den Nenner schreibe, heißt das ja geteilt durch 2 und wenn ich mal 2 rechne vor dem Integral, dann hebt sich das also wieder auf, wie man so sagen kann oder korrekterweise gesagt, der Wert des Integrals bzw. einer Stammfunktion  bleibt gleich, wenn man hier 2 und da eine 2 hinschreibt. Da dass jetzt geklärt ist, haben wir hier tatsächlich 1/2×\sqrtx, das ist die Ableitung von g(x), da müssen wir nur noch eben klären, was ist denn jetzt f. Dieses f hier aus der Formel. f(z) ist einfach 2z. Also diese ganz normale Exponentialfunktion zur Basis 2. Damit ist dann F(z) eine Stammfunktion von f, ist dann einfach 1/ln(2)×2z. Jetzt ist man fast fertig. Wenn ich jetzt hier das = hinsetze, dann kannst du einfach sehen, was hier das unbestimmte Integral von 2×2^\sqrtx×1/2×\sqrtx ist, nämlich 2×1/ln(2)×2^\sqrtx+c habe ich jetzt ordnungsgemäß hier hingeschrieben, + irgendeine konstante Zahl. Und das Ganze hier habe ich noch umgeschrieben zu 2^\sqrtx+1, warum, weil hier ×2 steht und das kann ich ja auch mit in den Exponenten schreiben. Ich weiß nicht, ob es so unbedingt nötig ist das zu machen, ich wollte es nur mal zeigen, dass das geht. Vielleicht wenn du mal das mit einem Programm kontrollieren möchtest, z.B. mit Mathematiker oder so, ich glaube dann wird hier der Exponent so angezeigt, wie ich das geschrieben habe und ja das habe ich einfach hingeschrieben, damit du dich dann besser orientieren kannst. Und damit ist dann hier diese Aufgabe erledigt, viel Spaß mit dem Ergebnis, bis bald, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    warum ist die Stammfunktin von 2^z = 1/ln(2) * 2^z ?

    Von Janmoe, vor fast 4 Jahren