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Transkript Integration durch Substitution – Aufgabe (2)

Hallo wir machen Integration durch Substitution mit dieser schönen gelben Formel hier. Und wir wollen den Schritt wagen von hier nach da, das heißt, wir möchten eine Funktion vorfinden, die besteht aus einer inneren Funktion g(x) und einer äußeren Funktion f und die soll noch einmal multipliziert werden mit der Ableitung von g, nämlich mit g(x). Und wenn das der Fall ist, dann brauchen wir nur noch die äußere Funktion f zu integrieren zu F. Und (g(x)) können wir dann einfach abschreiben und g(x) können wir dann einfach weglassen. Warum das so ist, habe ich in einem anderen Film erklärt. Hier zeige ich nur die Anwendung. Die Kunst an der Sache ist, diese Struktur in einer gegebenen Funktion wiederzuerkennen. Hier haben wir gegeben 17x/(1/2+x2)5. Und die Frage ist, hat dieser Term dieser Struktur hier? Wir können uns zum einen überlegen, was könnte denn hier eine innere Funktion sein an diesem Term. Nun, es bietet sich die Klammer an: 1/2+x2 könnte die innere Funktion sein. Und damit du siehst, was dann hier womit genau multipliziert wird, schreibe ich hier diese 17x noch mal dahinter. Ja ich weiß, das ist eigentlich nicht nötig, aber ich mache das jetzt hier ganz plakativ. Also ×17xdx. Dann ist also die innere Funktion des (1/2+x2) g(x). Die Funktion f ist 1/(1/2+x2)5. Dann brauchen wir noch die Ableitung der inneren Funktion, nämlich g(x) und das ist nicht 17x. Was jetzt? Wir überlegen uns, was ist die Ableitung von 1/2+x^2, nun, es ist 2x. Brauche ich nicht weiter erklären, hoffe ich. 2x müssten hier stehen, dann wäre die Sache richtig. Wir wissen ja, dass wir solche Faktoren, konstante Faktoren vor das ∫ schreiben können. Nämlich so. Das ändert den Wert des ∫ nicht; die Stammfunktion, oder eine Stammfunktion bleibt auch die gleich. Das macht alles nichts. Wir können es davor schreiben. Setze ich als bekannt voraus, dass das geht. Und jetzt steht hier aber immer noch nicht 2x, sondern es steht einfach nur x da. Dann kann man den üblichen Trick anwenden, indem man einfach sagt, wir rechnen 1/2×2×x. Dann steht da zwar x, aber 1/2 steht auch da. Also 1/2×2 ist ja 1, wir können ja alles mit 1 multiplizieren, dann bleibt das ja gleich. Und jetzt stört mich 1/2 noch und wie bei der 17 können 1/2 vor das ∫ schreiben. Und dann haben wir die Ableitung, die wir haben wollten. Das heißt, dass, was wir jetzt hier vorfinden, die Funktion, die wir hier vorfinden hat, diese Form und wir brauchen jetzt nur noch die Funktion f zu F zu integrieren und sind dann eigentlich schon fertig. Wenn man noch ein, zwei Überlegungen zwischendurch anfügt. Das heißt, ich hab jetzt hier diese Funktion schon einmal vorbereitet in der Form, die wir hier jetzt bekommen haben. Mann kann natürlich diese 2x hier auf dem Bruchstrich schreiben und muss sie nicht dahinter schreiben. Das ist also letzten Endes die Funktion, die jetzt hier zu integrieren ist und dann können wir uns überlegen, was ist jetzt was, Wie schon gesagt g(x) soll hier das sein, was hier in der Klammer steht, nämlich 1/2+x^2. Hier in der Formel kommt ja auch noch das z vor, deshalb habe ich da auch noch mal das z hingeschrieben. Ich hoffe, dass es gut sichtbar ist. Jetzt hab ich hier hingeschrieben z=g(x). Das ist manchmal ganz praktisch, wenn man das g(x) auch noch als z bezeichnet, weil man dann einfach f(z) schreiben kann und etwas einfacher schreiben kann, was damit passiert. Also was die Funktion f ist. Zunächst aber steht hier die Ableitung g(x)=2x, dass hatte ich schon gesagt. f(z), also diese äußere Funktion hier ist jetzt einfach z^-5. Ja, 1/  bedeutet ja ^- , kann man so als Merkregel sagen. Und dann müssen wir noch f integrieren zu F und das steht dann hier. F(z)=1/-5+1×z^-5+1, nach der Potenzregel kann man das machen. Die Potenzregel der Integralrechnung gilt ja für alle Zahlen außer für -1 und deshalb kann man das einfach stumpf hier einsetzen. -1/4×z^-4 kommt da raus. Jetzt müssen wir aber noch das z durch g(x) ersetzen. Denn wir integrieren ja nach x und z=1/2×2: Das kann man einfach einsetzen. Mehr habe ich hier nicht gemacht, ohne zu denken. Und es ist wirklich so einfach. Ich überlege mal ob ich, was erklären muss, aber ich glaube ich muss nichts erklären. Dann lasse ich das auch. Also das ist jetzt die äußere Ableitung. Hier 1/4 und (1/2+x2)^-4. g(x) haben wir hier eingesetzt und das ist jetzt einfach F(z). Wir hatten aber hier anfangs die Situation, dass wir eben nicht nur dieses ∫ hier bilden müssen oder hier das unbestimmte ∫ oder ein unbestimmtes ∫ bzw. eine Stammfunktion. Wir müssen auch noch 1/2×17 berücksichtigen und das habe ich hier einfach hingeschrieben. Wenn man -1/4×(1/2×17) rechnet, dann bekommen wir -17/8 raus. Und das, was da steht, kann ich einfach abschreiben. Und das ist jetzt einfach in einem Schritt die Lösung, die bei dieser Geschichte hier herauskommt. Viel Spaß damit. Tschüss.              

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