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Transkript Integration durch Substitution – Aufgabe (1)

Hallo, wir haben Integration durch Substitution, und zwar in der 1. Fassung. Das ist die Fassung, die auch etwas häufiger in der Schule verwendet wird. Wir brauchen diese Formel hier, dazu allerdings nur den Mittelteil. Nur dieses Zeug hier. Ja, wir stellen uns Folgendes vor, wir haben eine Funktion gegeben, die einen folgenden Aufbau hat, nämlich f(g(x))×g'(x). Das bedeutet, wir haben eine verkettete Funktion oder man sagt auch verschachtelte Funktion f(g(x)). Das heißt, hier ist eine Funktion drin und mit der wird dann noch mal irgendwie eine andere Rechnung gemacht, das ist das f dann. Und was da noch anderes mitgemacht wird. Und außerdem finden wir die Ableitung von g(x) in diesem Term auch noch. Du hast das mal geübt mit den verketteten Funktionen, also verkettete Funktionen erkennen. Da ging es halt darum, dass man aus einem gegebenen Term, eine Struktur herausliest. Nämlich so eine Verkettungsstruktur, wie sie hier steht. Und jetzt ist es, ich sag mal, ein klein wenig schwieriger geworden. Jetzt brauchen wir nicht nur diese Verkettung, sondern die Ableitung suchen wir auch noch in diesem Term, in diesem Funktionsterm, der uns gegeben ist. Wenn wir dann allerdings diese Struktur erkennen, dann brauchen wir nur noch das F zu integrieren und das g(x) schreiben wir einfach ab und g'(x) ist einfach weg. Das brauchen wir dann nicht mehr. Habe schon was dazu gesagt, warum das funktioniert, sage ich jetzt an dieser Stelle nicht noch mal. Sondern hier zeige einfach, wie das funktioniert. Und zwar haben wir folgende Situation hier, wir möchten ein Integral bilden, ein unbestimmtes Integral. Und zwar von der Funktion 2x/√1+x2 und das kann man auch umschreiben, ich mache es nur der Vollständigkeit halber. Manchmal, wenn man solche Strukturen erkennen möchte, ist es ganz gut, das in 2 verschiedenen Versionen da stehen zu haben, wie auch immer. Wir können einfach (1+x2)^-1/2 nehmen, denn √ bedeutet ja ^1/2, geteilt durch bedeutet ^-, nur mal so als Merkregel. ×2x kommt noch dahinter. Das ist das, was hier gestanden hat. Ja, und jetzt können wir einfach mal so vergleichen. Ja, was bietet sich denn an. Wir haben zum Beispiel hier eine Klammer g(x), also in der Klammer steht g(x). Dann haben wir hier auch eine Klammer, da stellen wir also fest, g(x) könnte ja 1+x2 sein. Muss es nicht unbedingt, kann aber. In dem Fall ist es das auch, aber ich wollte es nur sagen. Die 1. Idee muss dann nicht die richtige sein, es gibt durchaus auch mehrere Möglichkeiten. Also, wenn wir mal davon ausgehen, g(x) könnte 1+x2 sein, dann ist f folgerichtigerweise die Klammer^-1/2 und g'(x), ja dann müssten wir das mal eben im Kopf ableiten, 1+x2 abgeleitet, ist ja 2x,  1 abgeleitet ist 0, x2 abgeleitet ist 2x, zusammen ist es dann halt 2x. Und das haben wir hier auch stehen, freundlicherweise. Das heißt, wir können jetzt überzeugt sein, dass wir einen Funktionsterm vor uns haben, der auf diese Art und Weise hier aufgebaut ist. Dann sind wir eigentlich schon fertig. Hier habe ich das noch mal hingeschrieben, was ich mir jetzt hier so im Kopf überlegt habe. Ja, es ist ganz praktisch, wenn man so einfache Sachen hat, wie zum Beispiel die Ableitung von x2 im Kopf zu machen. Es empfiehlt sich das auch im Kopf zu machen und das nicht alles hinzuschreiben. Da spart man viel Zeit und naja, jetzt hast du schon so viel abgeleitet, das kann also auch gut im Kopf funktionieren. Wie können wir so was aufschreiben, da hier ja in der Formel von dem Z die Rede ist, habe ich es mit dazu genommen, weil es auch oft in der Literatur verwendet wird. Wir haben also hier eine Funktion, zunächst mal g(x)=1+x2, das ist also auch das neue Z. Wir ersetzen g(x) durch Z. Dann müssen wir noch die Ableitung von Z bilden bzw. der Ableitung g'(x)=2x, das habe ich ja auch schon gesagt. Und f(z)=Z^-1/2. Man sieht hier, wenn man das Z verwendet, statt g(x) dann ist das schon mal etwas übersichtlicher, wenn man das mit dem f aufschreibt, als wenn dann jeweils das g(x) auftaucht. Gerade wenn die Ausdrücke komplizierter werden. Und das ist auch einer der Gründe dafür, warum man hier ein Z verwendet. Dann kann man einfach hier jetzt eine Stammfunktion bilden von f(z), das ist dann F(z) und da muss man dann einfach nur stumpf die Potenzregel verwenden, das habe ich hier gemacht. Und man darf jetzt das natürlich vereinfachen, wir überlegen uns kurz -1/2+1=1/2, 1/1/2=2, hier das kann man also durch 2 ersetzen. Mache ich jetzt nicht mit meinem Ärmel. Z^-1/2+1 ist einfach Z1/2 aus ähnlichen Überlegungen heraus. Z1/2 ist die √ Z, das heißt, hier steht eigentlich nur 2√Z, F(z)=2√Z. Und das habe ich auch mal hier schon aufgeschrieben. Ein unbestimmtes Integral von Z^-1/2dz=2×√Z, man kann noch + Konstante dahinschreiben, hier ebenfalls + Konstante. Sei nur der Vollständigkeithalber gesagt. Das ist jetzt hier, wenn wir das Integral von Z^-1/2 bilden, diese Situation hier. Für Z können wir auch g(x) schreiben, wir bilden eine Stammfunktion von f, f war ja Z^-1/2, das steht hier. Und da haben wir dann auch eine Stammfunktion, nämlich 2×√Z oder 2×Z1/2. Und jetzt muss man noch resubstituieren. Wir müssen das für Z einsetzen, was =Z ist und das ist 1+x2. Und dann haben wir hier einfach 2×√1+x2. Das ist also eine Stammfunktion von 2×x/√1+x2. Ja, das war es dazu, viel Spaß, tschüss

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