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Transkript Integration durch Partialbruchzerlegung – Zusammenfassung

Hallo, herzlich willkommen. In diesem Video geht es um Partialbruchzerlegung und die braucht man, um gebrochen rationale Funktionen zu integrieren. Die gebrochen rationale Funktion 1/(x-2) wollen wir integrieren. Das ist nicht schwer, denn das ist ln|x-2|+c. Denn der ln hat ja 1/sein Argument als Ableitung. So und wenn da noch ein Faktor dabei ist, z.B. 5/2, dann würden wir den einfach aus dem Integral herausziehen, also der würde dann vor den ln kommen. Und genauso wäre die Stammfunktion von (-1/2)/(x+2), z.B., (-1/2)×ln|x+2|+c. Und selbst die Summe solcher Funktionen könnten wir integrieren, denn das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale, also die Summe der Stammfunktion. Das Problem ist jetzt nur, dass man die Funktion, die da oben steht, in der freien Wildbahn nie so antrifft, wie sie da jetzt aussieht, sondern man wird die nur so treffen, als (2x+6)/(x2-4). Denn normalerweise hat man die Brüche immer auf einem Bruch mit einem Hauptnenner. Und genau das wollen wir wieder rückgängig machen, weil wir die einzelnen Brüche ja viel leichter integrieren können. Und diese Zerlegung des Bruches heißt eben Partialbruchzerlegung. Da gibt es ein richtiges Rezept mit mehreren Schritten und das gehen wir jetzt mal durch. 1. Schritt: Den Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Das sollte bekannt sein, da bestimmt man schrittweise die Nullstellen und schreibt dann den Bruch als Produkt von solchen Linearfaktoren. Hier z.B. (x-2)(x+2)=x2-4. 2. Für jeden Linearfaktor eine Variable einführen und einen Partialbruch aufstellen. Wir führen die Variable A für den Partialbruch x-2 ein und die Variable B für den Partialbruch x+2. 3. Die Summe der Partialbrüche wieder zum Hauptnenner erweitern. Den 1. muss ich mit x+2 erweitern und den zweiten mit x-2. Dann können wir natürlich wieder ausmultiplizieren zum Hauptnenner und das Ganze dann auf einen Bruchstrich schreiben. Jetzt muss man die Terme im Zähler umformen und nach den x-Potenzen ordnen. Das heißt, wir lösen erst mal die Klammern auf. So, steht immer noch alles auf einem Bruchstrich. Jetzt sortieren wir mal so um, dass wir die x-Potenzen beieinanderhaben und dann klammern wir x aus. Der nächste Schritt ist der Koeffizientenvergleich mit dem Ausgangsterm. Denn der Bruch, den wir hier haben, soll ja das gleiche sein, wie unsere Ausgangsfunktion. Dann muss also A+B=2 sein, weil im Zähler oben vor dem x eine 2 steht und 2A-2B=6. Jetzt haben wir 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, also ein lineares Gleichungssystem, und das müssen wir jetzt lösen. In diesem Fall ergibt das A=5/2 und B=-1/2. Also kriegen wir tatsächlich die Summe der beiden Brüche raus, die wir am Anfang hatten. Jetzt machen wir noch eine Zerlegung am Beispiel (5x-3)/(x3-3x2+4). Die Faktorzerlegung ergibt hier (x-2)2×(x+1). Zum 2. Schritt kommt jetzt noch ein Zusatz, nämlich: Kommt eine Nullstelle n-mal vor, braucht man für jede Potenz bis n eine Variable und einen Partialbruch. Und hier haben wir die Nullstelle 2 2 mal, deswegen führen wir das A für den Bruch mit x-2 ein, das B für den Bruch mit (x-2)2 und wenn die Nullstelle 5 mal vorkommen würde, müssten wir eben 5 Variablen einführen, bis x-Nullstelle5. Und wir führen noch die Variable C für den Bruch mit x+1 ein. Dann erweitern wir wieder zum Hauptnenner, da fehlt bei A also noch x-2 und x+1, bei B fehlt nur x+1 und bei C fehlt noch der Term (x-2)2. So, das war jetzt schon der 3. Schritt, zum Hauptnenner erweitern und der 4. ist Termumformung und nach x-Potenzen ordnen. Hier müssen wir erst mal die Produkte in Summen verwandeln, dann lösen wir die Klammer mit dem A auf, dann die B-Klammer und zum Schluss die C-Klammer. So, jetzt haben wir hier ein x2 und hier, wenn wir also x2 ausklammern, steht in der Klammer A+C. Dann haben wir einen x-Term bei -A, einen bei B und einen bei -4C. Und am Schluss bleiben noch die Terme ohne x. Der Hauptnenner bleibt bestehen und jetzt machen wir den Koeffizientenvergleich mit dem Ausgangsterm. Wir haben da überhaupt kein x2, also muss das hier 0 sein, dieser Ausdruck muss 5 sein, weil vor dem x eine 5 steht und die x-freien Terme müssen zusammen -3 ergeben. Diese 3 Gleichungen ergeben dann also unser lineares Gleichungssystem, was wir dann noch lösen müssen. Das hat die Lösung A=8/9, B=7/3, C=-8/9. Das heißt, wir können unseren Bruch von da oben auch als diese Summe schreiben, die 8/9 kommen dabei zu x-2, weil wir ja bei dem Term x-2 A eingesetzt hatten und für die anderen entsprechend. So, und das Integral unseres Bruches ist damit das Integral dieser Summe. Da haben wir dann vorne 8/9ln|x-2|, hinten -8/9ln|x+1| und in der Mitte 7/3×(-1)/(x-2), nach der Potenzregel. Das schreiben wir noch als -7/3×(x-2) und dann haben wir es geschafft. Das war's und ich wünsche euch noch viel Erfolg beim Brüchezerlegen.

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5 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Chris,

    nein, das stimmt schon. (x-2)²(x+1) = (x²-4x+4)(x+1) = x³-3x²+4. Rechne nochmal nach.

    LG, Steve

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Hallo Steve!
    ich finde deine Videos sehr gut aber ich glaube in diesem Video ein Fehler entdeckt zu haben, etwa bei der hälfte kommt dein Beispiel mit 5x-3/x^3-3x^2+4 deine zerlegung für den Bruch ist (x-2)^2 * (x+1) und ich glaube das ist falsch da würde doch x^3-4x^2+4 heraus kommen oder?

    Ich würde mich freuen wenn du antwortest!

    lg chris

    Von Slicki, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Ey Leute, ich danke euch vielmals. Ihr seid das Geld in jedem Fall wert. Ich habe das in der Vorlesung überhaupt nicht verstanden, aber dann auf www.sofatutor.de und Bamn....man versteht es!

    Von Mathenoob123!, vor fast 6 Jahren
  4. Default

    Vielen Dank, Steve
    super erklärungen und beispiele - ich würd mich schon freuen, wäre mein prof nur 1/10 so verständlich.

    Von Garfield05, vor mehr als 6 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    HIer wurde im Video ein Kommentar hinterlassen, dass die Partialbruchzerlegung nicht so einfach wie dargestellt geht, wenn der Zählergrad größer ist als der Nennergrad. Dies ist richtig.

    Wollt ihr einen Bruch zerlegen, dessen Zählergrad größer ist als der Nennergrad, dann müsst ihr zuerst eine Polynomdivision durchführen, ihr erhaltet dann einen ganzrationalen Teil (der wiederum einfach zu integrieren ist) und einen echt-gebrochenrationalen Teil, auf den man dann die Partialbruchzerlegung anwenden kann.

    Von Steve Taube, vor etwa 7 Jahren