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Transkript Integration durch Partialbruchzerlegung – Ansätze finden

Hallo, in diesem Video geht es um Partialbruchzerlegung und zwar geht es darum, wie man die richtigen Ansätze wählt und wenn man dann richtig zerlegt hat, wie man die Terme a/(x+b) beziehungsweise a/((x+b)2) integriert. So, erschreckt jetzt nicht vor diesem Bruch, den hab ich nur als Beispiel gewählt, weil man daran ein paar Sachen zeigen kann, aber wir rechnen das nicht alles explizit durch. Als erstes muss man nämlich mal gucken, ob die Funktion überhaupt echt gebrochen ist. Das heißt, ob der Nennergrad höher ist als der Zählergrad. Hier bei uns ist der Zählergrad größer, also machen wir erst mal eine Polynomdivision. Bei der Polynomdivision kommt dann ein Term raus, der vorne ganzrational ist und hinten dann wirklich echt gebrochen. Und den ganzrationalen Teil können wir schon integrieren. Das geht nämlich elementar mit den Potenzgesetzen. So, jetzt kümmern wir uns als um den echt gebrochenen Teil und da müssen wir dann den Nenner so weit wie möglich in Faktoren zerlegen, wenn es geht, natürlich in Linearfaktoren. Das heißt, man versucht sukzessive Nullstellen zu finden und tastet sich dann durch Polynomdivision an die komplette Zerlegung. In unserem Beispiel sähe das so aus, da hätten wir die Nullstelle -4, die Doppelnullstelle 1 und dann hinten dann noch einen quadratischen Term, der keine Nullstellen hat. Den müssen wir also so stehen lassen. Der nächste Schritt und eigentlich auch wichtigste Schritt, ist dann die Partialbrüche aufzustellen und die entsprechenden Variablen einzuführen. Für den Term x+4 führen wir also ein Partialbruch ein mit dem Nenner x+4 und der Koeffizient kriegt die Variable a. Für x-1 stellen wir einen Partialbruch mit der Variable b auf und weil dieser Term quadratisch vorkommt, brauchen wir auch noch einen Partialbruch für (x-1)2 und da nehmen wir die Variable c. Für diesen Term stellen wir auch einen Partialbruch auf. Jetzt müssen wir aber, weil der Term den Grad 2 hat im Zähler, einen allgemeinen Term von Grad 1 aufstellen. Also dx+e und wenn man eben einen Term 6. Grades hätte, den man nicht mehr zerlegen kann, müsste man im Zähler einen allgemeinen Term 5. Grades ansetzen. Und wenn der Term jetzt auch noch quadratisch vorkommen würde, bräuchte man für das Quadrat des Terms auch noch mal einen Partialbruch und müsste dann noch mal einen linearen Term ansetzen, also fx+g. Aber das ist hier bei uns zum Glück nicht der Fall, also lassen wir das. Dann muss man die Variablen bestimmen, dann muss man unter Anderem die Brüche erweitern, dann Koeffizientenvergleich machen und ein lineares Gleichungssystem lösen. Wie das genau im Detail geht, hab ich schon in einem anderen Video zur Partialbruchzerlegung gezeigt. So, wenn man das dann ausrechnet, kommt hier bei uns raus 1, -1, 3, -3 und 1. Übrigens, wenn in der ursprünglichen Funktion im Nenner noch irgendwelche Faktoren rumschwirren, dann zieht man die einfach komplett raus, zum Beispiel als 1/7 und würde sie am Schluss komplett vor die Stammfunktion schreiben. So hat man hier unten bei den Partialbrüchen überall 1 vor dem x beziehungsweise vor dem x2. So jetzt haben wir also unsere Zerlegung und wollen die einzelnen Terme noch integrieren und da fangen wir mal an mit den Termen der Form a/(x+b). Das Integral von (1/(x+4))dx=ln|x+4|+C, denn die Ableitung von ln(x+4) wäre ja 1/(x+4). Und beim Integral von ((-1/(x-1))dx kommt die -1 einfach vor die Stammfunktion, also der Faktor a im Zähler landet vor dem ln. So jetzt schauen wir uns die Terme der Form a/((x+b)2) an. Wie bei uns hier der 3. Da ziehen wir als erstes mal den Faktor aus dem Integral, schreiben dann als negative Potenz und wenden dann die Potenzregel an. Das wäre dann also -3/(x-1)+C. Das Argument ist hier ja eigentlich nicht nur x, sondern eine Funktion x-1, aber da die innere Ableitung 1 ist, kann man da auch das Potenzgesetz drauf anwenden. Als Faustregel könnte man sich also merken, dass man im Nenner das Quadrat wegmacht und im Zähler einfach ein - dazu. So, jetzt haben wir also diesen Term auch erledigt und diese Art von Brüchen, die hier noch übrig ist, machen wir dann im nächsten Video. Bis dann!

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7 Kommentare
  1. Default

    Auf jeden Fall super und gleichzeitig kurz und prägnant erklärt!! Das hat mir in der Prüfung sehr geholfen. Danke!

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Ok danke :) Ich wollte sicher gehen. Danke.

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hm, :) genau das dachte ich beantwortet zu haben. Also nochmal: Wenn im Nenner x²+... steht und man kann es nicht als Potenz schreiben (also als (x-...)²), dann steht im Zähler Cx+D, also ein Term der einen Grad kleiner ist.
    Wenn im Nenner des Bruches, den du zerlegen willst, der Term (x-1)² vorkommt, dann musst du A/(x-1) + B/(x-1)² ansetzen. Es ist korrekt, dass da jeweils nur ein Buchstabe steht. Das ist aber nur so, wenn, wie du sagst, das Quadrat außen steht, wenn man also eine Potenz eines Termes hat.

    Hoffe, jetzt ist alles klar. Meine andere Erklärung war etwas allgemeiner...

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    Danke für die schnelle Antwort. Ich muss mich verbessern. Ich habe mich gefragt wieso bei (x-1)^2 im Zähler nur C steht und nicht auch z.B. Cx+d. Bei x^2+... steht im Zähler z.B. Dx+E und ich habe mich gefragt, ob es immer wenn das Quadrat außerhalb der Klammer steht, nur ein Buchstabe/Zahl ohne x kommt? Nochmals danke für die schnelle Antwort.

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Stuschud,

    das ist sozusagen eine Ausnahme. Wenn du die Potenz eines Termes im Nenner des zu zerlegenden Bruches hast, setzt du für jede Potenz bis zu der gegebenen einen einzelnen Bruch an, wobei im Zähler jedes Mal ein Term steht, der einen Grad kleiner ist als der Term, um den es sich handelt (also bei (x-2) einfach eine Zahl). Ich kann dir leider auf Anhieb nicht sagen, warum dieser Ansatz genügt, ich habe das nie hinterfragt (ist mir auch unangenehm). Aber der Ansatz stimmt so...

    Viele Grüße

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  1. Bewerbungsfoto

    Bei Gelegenheit denk ich das mal durch, ich bin grad zeitlich sehr beschränkt.

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Danke für dieses Video. Ich habe eine Frage und es wäre toll, wenn ich eine Antwort so schnell wie möglich bekommen könnte. Muss bei (x+2)^2 nicht auch beim Zähler etwas wie ex+d stehen? Da ist ja auch ein Polynom zweiten Grades im Nenner. Wenn nicht, kann mir jemand erklären, wieso nicht? Danke!!

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren
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