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Transkript Integralrechnung – Fläche zwischen zwei Graphen

Hallo! Wir machen eine Anwendungsaufgabe zur Integralrechnung, und zwar haben wir 2 Funktionen gegeben und sollen herausfinden, wie groß die Fläche ist, die von beiden Graphen eingeschlossen wird. Zunächst mal zu den Funktionen: Das ist f(x)=-1/x² und das ist g(x)=2,5x-5,25. Und um uns jetzt mal an die Sache heranzutasten und zu gucken, worum es überhaupt geht, ist es in dem Fall wichtig, eine Zeichnung zu machen. In Klausuren steht es auch meistens dabei: Erstellen Sie eine Zeichnung, die den Sachverhalt angemessen wiedergibt. Ich mache das jetzt einfach mal so als Skizze aus der Hand. Ich denke, das ist okay. So, das ist die Funktion oder der Funktionsgraph zur Funktion -1/x² ungefähr. Also das ist f(x). Ich hoffe, du siehst das genauso, du solltest ungefähr wissen, wie 1/x² aussieht und damit auch, wie -1/x² aussieht. Dann brauchen wir die Funktion g(x), also 2,5x-5,25. Wenn jetzt sage ich mal, hier -5,25 ist, wir wissen, das ist eine lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt -5,25 und Steigung 2,5, dann würde ich sagen, sieht das ungefähr so aus. Ja, ist ein bisschen krumm geworden, macht aber nichts. Und da kann man also erkennen, welche Fläche eingeschlossen wird. Es ist diese Fläche hier, die befindet sich zwischen beiden Graphen. Die Fläche, die hier weitergeht, befindet sich zwar auch zwischen beiden Graphen, aber die Fläche wird nicht eingeschlossen. Die Fläche, die hier weitergeht, befindet sich auch zwischen 2 Graphen, nämlich zwischen dem schwarzen und dem roten. Die ist aber auch nicht gemeint, weil die auch nicht eingeschlossen wird. Die ist ja in diese Richtung hier unbeschränkt. Ja, und die Fläche, die sich hier unten befindet, die ist auch nicht eingeschlossen. Um die soll es jetzt auch nicht gehen. Deshalb bleibt nur diese übrig - so ist das gemeint. Wenn wir jetzt diese Fläche berechnen wollen, müssen wir wissen, wo genau befinden sich denn hier die Schnittpunkte der beiden Graphen. Und das finden wir raus, indem wir beide Funktionsterme gleichsetzen, und dann ausrechnen, welche x wir einsetzen müssen, damit diese Gleichung richtig ist. Nun habe ich erst mal -1/x² auf die andere Seite gebracht hier, und dann mit x² multipliziert. Und das, was hier steht, kommt dann heraus. So, und wie du unschwer erkennen kannst, ist das eine Gleichung 3. Grades. Und die kann man also nicht so geschlossen lösen. Das Verfahren, was normalerweise dann in der Schule angewendet wird, ist halt eine Nullstelle raten und Polynomdivisionen durchführen. Und zwar, diese Seite der Gleichung geteilt durch x-Nullstelle. Manche Leute haben ein Problem mit dem Raten einer Nullstelle - Mathematik ist ja kein Quiz, ist aber in dem Fall so gemeint und ich gebe das jetzt so wider. 1 Nullstelle, dabei ist x=2 oder x1=2. Wenn man 2 einsetzt, dann ist diese Gleichung richtig und es kommt bei diesem Term 0 heraus. Und deshalb müssen wir jetzt die Polynomdivisionen durchführen, und zwar diesen Term hier durch x-2 teilen. Vielleicht noch zum Raten: Meistens geht man systematisch vor. Man setzt ein, 0, 1, -1, 2, -2 und so weiter. Oder man kann sich natürlich auch eine Zeichnung machen und gucken, wo ungefähr die Schnittpunkte liegen könnten. Man kann das auch mit einem Computerprogramm zeichnen, falls vorhanden. So, dass man sich da halt ein Bild von macht. Und dann sollte man auf kurzem Weg zu einer solchen Nullstelle kommen. Normalerweise sind die Aufgaben nicht so gestrickt, dass dann irgendwelche, in Anführungszeichen, krummen Zahlen rauskommen, sondern auch Nullstellen, die man tatsächlich irgendwie erraten kann. So, nun zur Polynomdivision: Ich habe das hier mal aufgeschrieben. Einfach diesen Term geteilt durch x-2. Und das ist das Ergebnis. Ich habe diese Polynomdivision schon an anderer Stelle vorgerechnet, deshalb mache ich das hier jetzt nicht noch mal, sonst würde es zu lange dauern. Wir möchten jetzt ja die anderen Schnittpunkte dieser beiden Graphen herausfinden und müssen also nun weiter die Nullstellen dieser Gleichung bestimmen. Das heißt, wir müssen jetzt dieses Ding hier, was rausgekommen ist, wieder gleich Null setzen. Das habe ich hier gemacht und ich habe natürlich vorher noch durch 2,5 geteilt. Ja, und das ist das Ergebnis davon. Das kann man auch direkt sehen hier. 0,25 ist 1/10 von 2,5. Wenn ich die beiden teile, kommt 1/10 raus, also hier 0,1. Und wenn ich ½ durch 5/2 teile, dann kommt 1/5 raus, also 0,2. Auch das geht ganz gut im Kopf. Du solltest auch hier nicht alles mit dem Taschenrechner machen. Was ich jetzt auch nicht weiter vormachen möchte, ist, die Lösungsfindung, in diesem Fall ist es eine quadratische Gleichung. Falls da noch Schwierigkeiten sind, gucke bitte bei den quadratischen Gleichungen nach. Die beiden Lösungen sind hier auf jeden Fall x2, also x1 ist ja hier schon verbraten. x2 haben wir hier also =-0,4 und x3=0,5. So, und jetzt kann man an der Zeichnung auch direkt sehen, welche Nullstellen dieser ganzen Geschichte wir hier brauchen. Hier ist also -0,4. Die brauchen wir nicht, weil ja hier und hier und so jetzt nicht die Fläche ist, die von den beiden Graphen eingeschlossen wird. Wir brauchen also ½, also 0,5 und 2. Zwischen den beiden Nullstellen müssen wir jetzt integrieren, und das sieht dann so aus. Da habe ich mir etwas vorbereitet. Also, wir bilden das Integral von 0,5 bis 2, von f(x)-g(x). Und hier hilft mir auch wieder die Zeichnung weiter. Ich sehe ja, dass f(x), also -1/x² in diesem Bereich hier größer ist als g(x). Hier ist ja g(x). Und wenn man dann f(x)-g(x) bildet, weiß man, dass in diesem Bereich also die Differenzfunktion positiv ist, also über der x-Achse ist, und deshalb braucht man das Ergebnis des bestimmten Integrals hinterher nicht mehr in Betragsstriche setzen, um die Flächenmaßzahl herauszufinden. Also, wie du ja weißt, ist eine Fläche immer positiv. Bestimmte Integrale können auch negativ werden. Wenn man weiß, welche Funktion auf einem bestimmten Bereich größer ist als eine andere, kann man sich das hier zunutze machen. Die größere minus die kleinere rechnen. Das Ergebnis wird also positiv sein und wird mit der Flächenmaßzahl übereinstimmen. Dann kann ich die Funktionen einsetzen. Also bestimmtes Integral von 0,5 bis 2 von, für f(x) setze ich -1/x² ein. Und dann hier -g(x), das ist -2,5x+5,25. Und da habe ich einen Fehler gemacht, nämlich dx fehlt. Hier bitte drauf achten, ich bin selber in die Falle reingetappt. Ich habe minus geschrieben. Wenn man hier die gesamte Funktion g(x) abzieht, dann muss hier natürlich ein Plus hin. Das kann dann viel Arbeit machen, wenn man sich da mal vertut. Allerdings, wenn man dann viel im Kopf rechnet und so was, hat man den Fehler doch relativ schnell gefunden. So, und dann kommt halt die Notation des Hauptsatzes. Hier in diesen eckigen Klammern steht dann eine Stammfunktion dieser Funktion hier. Und da habe ich es noch mal in allen Einzelheiten hingeschrieben. Manche stoßen sich ja etwas 1/x², aber das ist ja nichts Anderes als x^-2. Und x^-2 kann man mit der Potenzregel ganz normal integrieren. Die Potenzregel der Integration gilt ja für alle n, also für alle xn, für alle Exponenten, die ungleich -1 sind. Also kann man das stumpf hier in diese Potenzregel einsetzen, den Rest auch. Habe ich einfach eingesetzt, glaube ich, bedarf keiner weiteren Erläuterung. Und das habe ich dann hier vereinfacht, auch mit elementaren Rechnungen und habe das hier auf Brüche gebracht, um hinterher besser weiterrechnen zu können. Und hier sind jetzt die Zahlen eingesetzt worden, auch alles mit Brüchen. Und da sehe ich das schon kommen, das werden hier Sechzehntel werden. Hier kann ich nicht weiter kürzen, also muss ich alle Summanden dann auf Sechzehntel bringen, um das auch bequem im Kopf ausrechnen zu können. Das Ganze sieht dann so aus. Hier auch eine elementare Rechnung. Ich habe alles auf einen Bruchstrich geschrieben. Hier wieder angewandte Bruchrechnung - ich hoffe, das kannst du noch. Und hier ist dann das Ergebnis, also 1 11/16 oder 27/16, egal, wie man es hinschreiben möchte. Hier steht noch FE, das steht für Flächeneinheiten. Die sollen jetzt eigentlich hier nicht hin, sondern wenn man es genau nimmt, dann muss das natürlich in den Fortsatz geschrieben werden. Hier steht ja erst mal eine Zahl, das sind zunächst mal keine Flächeneinheiten. Nur als Hinweis jetzt, weil ja am Ende dann meistens die Frage kommt: Ja, was ist denn das jetzt, sind das jetzt cm² oder m². Was habe ich da ausgerechnet? Wenn nichts weiter gegeben ist in der Aufgabe, sind das einfach nur FE, also Flächeneinheiten. Ja, und das war die ganze Aufgabe. Viel Spaß damit - tschüss!

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1 Kommentar
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    Schwieriges Beispiel ich hatte zb. Polynom Division nicht gemacht ! :/

    Von Samil, vor etwa einem Jahr