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Transkript Integralfunktion – Definition

Hallo! Was ist eine Integralfunktion? Für eine Integralfunktion brauchen wir eine Funktion, die zum Beispiel so aussieht - das ist ein Funktionsgraph der Funktion, zum Beispiel: f(x). Und bevor wir die Integralfunktion basteln, können wir uns erst mal ein Integral basteln. Ein Integral in den Grenzen von a bis b der Funktion f(x), und begrenzt wird dieser Ausdruck durch das Symbol dx. Und dieses Integral ist ja die Fläche zwischen Graph und x-Achse in diesen Grenzen von a bis b: Jetzt könnte man ja auf die Idee kommen, das b mal so ein bisschen hin und her laufen zu lassen. Je nachdem wo b ist, ist dieses Integral größer oder kleiner, weil manchmal mehr und manchmal weniger Fläche da ist. Das kann man zum Anlass nehmen, eine neue Funktion zu definieren, nämlich eine Funktion, die die Fläche zwischen Graph und x-Achse in den Grenzen a bis b angibt, aber b soll jetzt variabel sein. Das ist die neue Variable, die neue Variable unserer Integralfunktion. Und das kann man sich so vorstellen: Wir nehmen ein neues Symbol, ein I -  I für Integralfunktion. Das b soll sich bewegen und das a soll fest bleiben. Das heißt, diese Funktion bekommen wir nur für ein bestimmtes a - und deshalb kriegt die ein Index, nämlich a. Das ist dann die Funktion Ia, das lässt sich jetzt nicht vermeiden. Und um nun etwas deutlicher zu machen, dass hier eine Variable folgt, schreibt man hier nicht b hin, sondern man schreibt etwas, was öfter für unabhängige Variablen verwendet wird, zum Beispiel: das t. Dann haben wir also eine Integralfunktion Ia(t), und die ist so definiert: Ia(t)=a∫tf(x)dx Das ist eine neue Funktion und wir können uns mal kurz angucken, wie die aussieht. Da brauchen wir wieder ein Koordinatensystem. Ich mache mir die Sache jetzt ein bisschen einfach, indem ich nur den ersten Quadranten verwende und die Funktion hier, f(x), die Funktionswerte liegen alle oberhalb der x-Achse und ich gehe jetzt auch mal davon aus, dass dieses t, das hier hin und her läuft, dass das größer als a ist. Ich gucke mir nicht an was passiert, wenn es kleiner als a ist, usw. Das könnte man jetzt, wenn man die Theorie sehr ordentlich aufbauen möchte, oder müsste man dann natürlich noch alles betrachten. So: Da ist a, und das hier ist jetzt die t-Achse geworden (t ist unsere unabhängige Variable der Integralfunktion). Wenn jetzt diese Integralfunktion, also die Fläche zwischen Graph und x-Achse der Funktion f(x) in den Grenzen von a bis t angibt, dann kann man sich fragen, wie groß ist denn die Fläche, wenn t=a ist? Na dann ist sie 0, denn wenn diese obere Grenze hier bei a ist, dann haben wir noch gar keine Fläche. Hier fängt die Integralfunktion quasi an, wenn man die t's, die kleiner als a sind, weglässt, und ist da 0. Und wenn das t ein bisschen weiter hier herübergeht, wenn t jetzt zum Beispiel hier ist, dann haben wir eine Fläche: Das heißt, die Integralfunktion steigt hier. Sie steigt immer ein bisschen weniger, weil ja auch die Funktionswerte hier kleiner werden. Das heißt, pro t-Differenz kommt ja dann immer weniger hinzu, weil die Funktionswerte kleiner werden und so sieht sie dann ungefähr aus. Ich weiß nicht, wie weit sie geht, ich habe das ja nicht weiter gezeichnet. So ungefähr könnte das aussehen, wenn das t also hier ist. Dann ist diese Zahl, diese Zahl, die hier ist, diese - hier oben ist übrigens Ia(t), kann man noch dazu schreiben - diese Zahl ist die Flächenmaßzahl dieser Fläche hier. Man sagt natürlich immer kurz "Das ist die Fläche". Man meint die Flächenmaßzahl, also, die Funktionswerte der Integralfunktionen sind Zahlen. Ich glaube, das ist alles, was du in dem Zusammenhang hier wissen solltest von Integralfunktionen. Viel Spaß damit, tschüss!

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4 Kommentare
  1. Default

    Hat mir geholfen. Danke :)

    Von Ernsthuegelsheim, vor fast 2 Jahren
  2. Giuliano test

    @Ernsthuegelsheim:
    Das dx ist ein Symbol, welches von dem berühmten Mathematiker Leibniz eingeführt wurde. dx ist das Differential in x-Richtung, d.h. übersetzt, dass x die Variable ist, nach welcher integriert werden soll.
    Diese Schreibweise ist zum Beispiel nützlich, um deutlich zu unterscheiden, nach welcher Variable eigentlich integriert wird. Wenn du beispielsweise die Funktion f(x)=a²+x betrachtest, dann ist die Variable x durch die Schreibweise bei der Funktionsgleichung mit x vorgegeben. Damit wird auch nach dieser integriert.
    Aber wenn jetzt nur das Integral von der Funktion in einem bestimmten Intervall ausgerechnet werden soll, wird ohne das dx nicht eindeutig klar, ob nun a oder x die Variable ist, nach der integriert wird.
    Darüber hinaus, kann man auch die Differentiation ("Ableitung") mit diesem Symbol darstellen (z.B. d/dx).
    Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Hat das Symbol "dx" eine besondere Bedeutung?

    Von Ernsthuegelsheim, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    super erklärt!

    Von Thomas Klawitter, vor mehr als 2 Jahren