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Transkript Integralfunktion – Ableitung

Hallo, wir machen die Ableitung der Integralfunktion. Warum? 1. zum Spaß, 2. weil etwas Witziges rauskommt. 3. brauchen wir das Ergebnis für den Beweis des großen Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung. Also dann: Hier steht schon eine Integralfunktion. Um eine Integralfunktion zu erhalten, brauchen wir eine Funktion f(x). Wir brauchen eine untere Grenze a. Deshalb heißt die Integralfunktion auch Ia(t). Das t ist die obere Grenze, die hier variiert und die Integralfunktion gibt die Flächenmaßzahl an der Fläche, die sich zwischen Graph von f(x) und x-Achse in den Grenzen von a bis t befindet. Hier steht also die Flächenmaßzahl dieser Fläche. Wenn wir diese Funktion jetzt ableiten wollen und uns Gedanken machen wollen, wie sieht diese Ableitung aus, können wir jetzt natürlich keine Ableitungsregeln verwenden, sondern müssen da elementar vorgehen. Das heißt, wir nehmen eine Sekantensteigung. Diese Sekantensteigung lassen wir dann immer weiter zu einer Tangentensteigung werden, jetzt mal ganz salopp ausgedrückt. Dieser Grenzwert ist dann diese Tangentensteigung. Etwas genauer kann ich das schon ausdrücken. Das ist nämlich folgendermaßen: Wir brauchen ein t+h. Das ist hier. Das ist der Abstand h. Wir brauchen einen Funktionswert dort, der ist hier ungefähr. Und wir haben hier eine Sekante, die wir hier durchzeichnen können. Der Winkel ist etwas schlecht hier in dem ich zeichne, ich hoffe das haut so ungefähr hin. Da ist eine Sekante. Und wenn diese Sekante jetzt immer weiter, also wenn dieser Punkt immer weiter zu t hingeht, dann nähert sich diese Sekante immer mehr der Tangente an. Der Grenzwert ist dann quasi die Tangente und die Tangentensteigung das ist die Ableitung in diesem Punkt. Das hier übrigens ist ? Ia; die Differenz dieser beiden Funktionswerte Ia(t) und Ia(t+h). Dieses Dreieck ist ein griechischer Buchstabe. ? heißt der und den nimmt man oft für Differenzen. Wir brauchen also die Sekantensteigung und dazu brauchen wir erst mal dieses ? Ia. Das kann ich auch so aufschreiben. Das ist nämlich der Funktionswert bei t+h, und wenn ich von diesem Funktionswert Ia von t abziehe, dann bekomme ich die Differenz. Wir wissen, wie man die Sekantensteigung berechnet. Diese Differenz geteilt durch diese Differenz, also vertikale Differenz durch horizontale Differenz. Die horizontale Differenz ist natürlich h, weil das der Abstand h ist. An der Stelle brauchen wir eine Idee. Eine klitzekleine Idee. Und zwar fragt man sich, was bedeutet denn diese Differenz hier? Und dann strichel ich das mal hier bis oben weiter. Hier ist also t+h. Da ist t+h. Und diese Differenz hier. Die Differenz dieser beiden Flächenmaßzahlen, das ist die Maßzahl dieser Fläche oder man kann auch kurz sagen, das ist diese Fläche. Also diese Fläche ist von t bis t+h dazugekommen und deshalb ist die Flächenmaßzahl oder hier die Fläche, die durch die Integralfunktion angegeben wird, größer geworden. Ich glaube, klarer wird es nicht. Und dazu habe ich etwas vorbereitet: nämlich diese Idee, die man hier braucht. Und zwar habe ich diese Situation hier in etwas größer aufgeschrieben, weil ich da etwas reinmalen möchte. Das ist diese Situation hier. Wir haben t, also das ist hier oben f(x). Das kann ich vielleicht noch dazuschreiben, f(x) ist das. Und das ist diese Fläche, die dazugekommen ist. Das ist diese Differenz, die hier steht. Die Idee ist folgende: Rein vom gesunden Menschenverstand her kann man jetzt sagen, es gibt zu dieser Fläche hier ein Rechteck, das so breit ist wie h und ungefähr diese Höhe hat und den gleichen Flächeninhalt hat, wie diese Fläche hier. So ein Rechteck muss es geben. Ich glaube, hier ist das. Vielleicht. Ein bisschen höher hätte es sein müssen. Also, das ist dieses rote Rechteck. Dieses rote Rechteck hat die gleiche Fläche, wie die Fläche zwischen Graph und x-Achse in den Grenzen von t bis t+h und noch wichtig ist, in dem Fall: Wenn f(x) keine Sprungstellen hat; also stetig ist, davon wollen wir mal ausgehen, dann existiert an dieser Stelle hier, da, da existiert  ein Funktionswert, durch den dieses Rechteck geht. Das heißt, die Rechteckhöhe ist so groß wie ein Funktionswert, der sich hier befindet, hier in dieser Höhe. Es gibt hier also eine Zahl z, die sich zwischen t und t+h befindet und wenn man rechnet, f(z)×h, dann bekommt man die Fläche dieses roten Rechteckes. Da habe ich das jetzt ein bisschen locker genommen. Diese Stetigkeit und keine Sprungstellen usw. Wenn man das ordentlich nachweisen möchte, müsste man sich ein bisschen Gedanken darüber machen, für welche Funktion gilt das genau. Mache ich hier an dieser Stelle nicht. Wir gehen davon aus, dass das hier klappt, mit diesem Funktionswert, der sich in dieser Höhe befindet. Dann kann ich allerdings diese Differenz ersetzen durch die Fläche des roten Rechteckes. Das bedeutet, ich kann einfach schreiben: f(z)×h; das ist diese Differenz, das rote Rechteck, diese Differenz, geteilt durch h. Da sieht man gleich, da kann ich natürlich das h kürzen, solange h ungleich 0 ist. Und die Frage ist, ja die kommt noch nicht und ich schreib das mal hier hin: Das Ganze ist dann also f(z), solange h ungleich 0 ist. Soweit also die Sekantensteigung, aber uns interessiert jetzt, was passiert, wenn h gegen 0 geht. Das heißt, wir müssen jetzt hier den Grenzwert bilden: Limes von h gegen 0. Dann muss ich das hier auch machen. Limes von h gegen 0. Da können wir uns überlegen, was passiert mit dem z? Wenn z sich zwischen, deshalb heißt es auch z, sich zwischen t und t+h befindet und h gegen 0 geht; dass heißt diese Grenze hier gegen t konvergiert und z also dazwischen ist, dann konvergiert z auch gegen t. Habe ich jetzt auch so kurz dargestellt. Wenn man das formal aufbauen möchte, muss man da ein bisschen mehr arbeiten. Aber ich glaube, so rein intuitiv ist die Sache klar, z nähert sich unendlich nah dem t an, z konvergiert gegen t, weil z zwischen t und t+h liegt. Also habe ich jetzt hier als Ergebnis Limes von h gegen 0 von f(z)=f(t). Hier kommen überall Gleichheitszeichen dazwischen. Dieses x gehört nicht dazu. Die Ableitung der Integralfunktion ist die Ausgangsfunktion f(t). Das ist das große Ergebnis hier und dazu brauchte man diese Idee mit dem Rechteck. Wie gesagt, formal habe ich es nicht ganz exakt gemacht, mehr so ein bisschen intuitiv. Genauer wird es meistens in den Schulbüchern auch nicht gemacht. Daran habe ich mich ein bisschen orientiert. Und dieses Ergebnis, dass die Ableitung der Integralfunktion wieder die Ausgangsfunktion ergibt, das brauchen wir später für den Hauptsatz und damit ist das hier erst mal beendet und viel Spaß damit. Tschüss

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