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Transkript Integral, Integralfunktion, Flächeninhaltsfunktion, Stammfunktion

Hallo! Wir haben ein paar Begriffe zu klären, das sind die Begriffe Stammfunktion, bestimmtes Integral, unbestimmtes Integral, Integralfunktion und Flächeninhaltsfunktion. Leider muss ich dazu sagen, dass es sehr viele verschiedene Definitionen dieser Begriffe gibt, und das trägt nicht gerade zur Orientierung bei für Lernende. Und deshalb möchte ich jetzt mal das zeigen, worauf man sich im Prinzip geeinigt hat, was bei allen Zugängen zu diesem Thema gleich ist. Also, wir haben Stammfunktionen. Wir brauchen, um eine Stammfunktion zu bekommen, zunächst einmal eine Funktion f von x, oder auch klein f (x) genannt. Eine Stammfunktion zu f(x) ist eine Funktion groß F(x), die die Eigenschaft hat, dass die Ableitung dieser Funktion F(x)=f(x) ist. Hier habe ich mal ein Beispiel hingeschrieben: Wir haben die Funktion f(x)=x² und eine Stammfunktion F(x) ist dann 1/3x³, denn die Ableitung von 1/3x³ ist x². Nun habe ich aber gesagt eine Stammfunktion ist 1/3x³, denn 1/3x³+1 ist auch eine Stammfunktion. Denn wenn man diese Funktion ableitet, erhält man auch x². Jetzt könnte ich hier auch 3 und 5 und -28000 einsetzen, immer wäre die Ableitung =x². Deshalb sagt man, es gibt zu einer Funktion f(x) mehrere Stammfunktionen, nämlich F(x)+c, die sich nämlich alle durch eine solche Konstante unterscheiden; die Ableitung ist dann immer =f(x). Also bis dahin ist man sich einig. Dann kommen wir zum bestimmten Integral, Das bestimmte Integral ist das, was hier steht. Man kann sagen, das Integral von a bis b der Funktion f(x)dx. Dx gibt an, zu welcher Variablen integriert wird, und dx begrenzt das Integral, aber auch die Funktion. Das ist einfach so ein Zusatz, der da immer hin muss. Dieses bestimmte Integral gibt es in verschiedenen Definitionen, einig ist man sich aber darüber, dass man mithilfe dieser Stammfunktionen dieses bestimmte Integral berechnen kann. Wir brauchen nämlich nur eine Stammfunktion groß F von klein f und können dann die Differenz bilden, nämlich F(b), also diese obere Grenze hier, -F(a), also diese untere Grenze. Und das, was hier herauskommt, ist der Wert des bestimmten Integrals. So kann man die berechnen und da ist man sich einig. Das Ding hier heißt übrigens „Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung“. Konkret geht das dann so: Wir können uns eine Funktion hernehmen, x² zum Beispiel, wir kennen schon eine Stammfunktion davon, ich nehme das mal hier weg. Meistens nimmt man dann eine Stammfunktion, bei der das konstante Glied hier hinten =0 ist, also nehmen wir einfach 1/3x³ und setzen dann einmal die obere Grenze ein, dann haben wir 1/3×2³, und das Minuszeichen abschreiben und dann die untere Grenze einsetzen, hier also 1/3×1³. Und das, was hier herauskommt, ist der Wert dieses bestimmten Integrals. Dann haben wir noch das unbestimmte Integral, und das erhält man, indem man beim bestimmten Integral einfach was weglässt, und zwar die Grenzen. Das, was hier steht, ist dann das unbestimmte Integral, also das hier oder das, je nachdem wie man das sagen will, das ist auch unterschiedlich. Wenn man das unbestimmte Integral bestimmen will, geht es darum, zu dieser Funktion f(x) - habe ich vielleicht nicht ganz schön gezeichnet, das soll ein richtiges f sein, ein klein f(x) - wir suchen zu f(x) eine Stammfunktion F(x). Das ist alles, wenn es um das unbestimmte Integral geht. Man kann hier auch noch +c hinschreiben, manche machen es mit +c, manche ohne. Jetzt steht es da und ich glaube, wir haben uns da auch verstanden, hoffe ich zumindest. Dann gibt es die Integralfunktion, von der ich gleich mal sagen muss, dass sie dann hinterher im Abitur oder so, wenn du das jetzt an der Schule machst, dann spielt sie nicht mehr so eine große Rolle. Sie spielt dann zwischendurch bei der Definition eine Rolle, aber hinterher nicht mehr so. Trotzdem ist es ganz gut, mal zu wissen, was das bedeutet. Eine Integralfunktion erhält man nämlich dann, wenn man f(x) hat und eine bestimmte Zahl a. Dann kann man bestimmte Integrale bilden von a bis t, und zwar bestimmte Integrale der Funktion f(x)dx. Und wenn wir jetzt eine Funktion haben, die jeder Zahl t das bestimmte Integral von a bis t der Funktion f(x)dx zuordnet, dann haben wir hier eine Integralfunktion. Also: Die Integralfunktion ordnet einfach bestimmte Integrale diesen Zahlen zu. Dann haben wir noch die Flächeninhaltsfunktion, die auch meistens am Anfang eine Rolle spielt; hinterher berechnet man dann Flächen mit bestimmten Integralen, da komme ich gleich zu. Flächeninhaltsfunktion, zunächst mal, spielt bei der Definition der Integrale und so oft eine Rolle, und das ist eine Funktion, die bestimmten Zahlen x Flächeninhalte zuordnet. Die Sache ist dann ganz unproblematisch, wenn man eine Funktion f(x) hat, deren Graph oberhalb der x-Achse verläuft, also hier ist der Graph von f(x). Wir können nun eine Zahl x0 hier auf der x-Achse festnageln, und uns dann weitere Zahlen vorstellen und jeder Zahl x einen Flächeninhalt a zuordnen, der also von x0 abhängt, und das ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse in den Grenzen von x0 bis x. Also die Flächeninhaltsfunktion ordnet tatsächlich solche Flächen zu. Wie sie das genau macht, definiere ich jetzt hier nicht weiter, da ist man sich auch uneins darüber, wie das so hinkommt. Wir stellen nun fest, und darüber ist man sich wieder einig, dass diese Flächeninhaltsfunktion einen Wert angibt, eine Flächenmaßzahl, kann man sagen, die man auch durch das bestimmte Integral hätte berechnen können- wenn nämlich der Graph oberhalb der x-Achse verläuft und x0 kleiner als x ist, also das hier alles schön in Ordnung ist. Dann kann man nämlich die Fläche hier berechnen, in dem man für a x0 einsetzt und für b x einsetzt. Dann muss man hier noch eine andere Variable finden, eine andere Integrationsvariable, wäre dann aber kein Problem. Man kann einfach irgendeine andere nehmen, das ist in dem Fall nicht so wichtig. Und dann bestimmt man F(x)-F(x0). Also hier braucht man nur eine Stammfunktion und hat diese Fläche heraus. Diese Flächenberechnung wird auch in der Regel so gemacht, das bleibt also auch bis zum Abitur und danach weiter bestehen. Das ist eine ganz wichtige Sache in der Integralrechnung, dass man mithilfe der bestimmten Integrale solche Flächen berechnet. Dramatisch anders sieht die Situation aber aus, wenn wir eine Funktion haben, die so aussieht, hier läuft der Funktionsgraph, und wir möchten zum Beispiel wissen, wie groß die Fläche ist, die sich zwischen Graph und x-Achse befindet und die sich hier zwischen Graph und x-Achse befindet. Wenn wir das bestimmte Integral dieser Funktion von a bis b berechnen, angenommen wir haben jetzt eine Funktion gefunden, dann können wir das bestimmte Integral berechnen, dann stellen wir fest: Das kann nie und nimmer die Flächenmaßzahl sein, die sich hier zwischen Graph und x-Achse befindet, also diese Fläche + diese Fläche. Wenn man genau hinguckt, merkt man, man rechnet eigentlich diese Fläche im Negativen + diese Fläche, wenn man das bestimmte Integral einfach von a bis b bildet. So, was ist die Lösung der ganzen Sache? So kompliziert das Ganze bisher war, so einfach ist die Lösung. Man macht Folgendes: Man nimmt die Nullstelle hier, die soll jetzt mal c sein, nein, ich nenne sie d, weil hier schon ein c steht - das d und dieses c haben nichts miteinander zu tun. Die heißt jetzt d, basta. Wir können nämlich das bestimmte Integral von a bis d bilden, dieses bestimmte Integral in Betragstriche setzen und dann das bestimmte Integral von d bis b bilden, das ist dann positiv, und das bestimmte Integral von d bis b gibt tatsächlich auch die Flächenmaßzahl an. Und wenn wir beide addieren, also Betrag des bestimmten Integrals von a bis d und das bestimmte Integral von d bis b, dann haben wir die Gesamtfläche, die sich hier zwischen Graph und x-Achse in den Grenzen von a bis b befindet. Das ist halt die wichtige Sache, dass man mithilfe der bestimmten Integrale Flächen bestimmen kann, und das macht man bei solchen Funktionen eben so, dass man erst die Nullstellen bestimmt und dann zwischen zwei Nullstellen jeweils integriert und die bestimmten Integrale in Betragstriche setzt. Dann kann nichts passieren. Das war's dazu, viel Spaß damit. Tschüss!  

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5 Kommentare
  1. Default

    Sehr gutes Video. Bisher hat mir im Thema Integral total der Durchblick gefehlt. Jetzt sind wenigstens einmal die grundlegenden Dinge geklärt und müssen jetzt nur noch vertieft werden! Vielen Dank

    Von Marinastoll93, vor fast 2 Jahren
  2. 1379427 607626575966176 52627287 n

    Supeeeer :)

    Von Danielle S., vor etwa 2 Jahren
  3. Maxi mami 2005

    Klasse, ich werd langsam zum Fan :)

    Von Katharina B., vor fast 4 Jahren
  4. Default

    tolle erklärung

    Von Aylin Mak, vor mehr als 5 Jahren
  5. Default

    tolle erklärung

    Von Aylin Mak, vor mehr als 5 Jahren