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Transkript Innere und äußere Teilung einer Strecke

Hallo, in diesem Video geht es um die innere und äußere Teilung einer Strecke. Wir fangen mit der inneren Teilung an. Dazu zeichnen wir die Strecke PQ. Und auf der Strecke PQ den Punkt T. Der liegt genau so, dass wenn wir die Strecke PQ in drei gleich große Teile teilen, er am Ende des 2. Teils liegt. Das heißt, von P bis T haben wir 2 Teilstücke und von T bis Q nur 1 Teilstück. In Formeln schreiben wir das dann als: die Strecke PT verhält sich zur Strecke PQ wie 2:1, also 2. Und wir sagen dann: Der Punkt T teilt die Strecke PQ innen im Verhältnis 2:1 bzw. im Verhältnis 2. Machen wir mal noch ein Beispiel. Wieder die Strecke PQ. Diesmal liegt der Punkt T weiter links und wir haben genau diese Einteilung. Das heißt, von P nach T haben wir 1 Teilstück und von T nach Q 4. Dann verhält sich also die Strecke PT zur Strecke TQ wie 1:4, also ist das Verhältnis 0,25. Und damit man im Verhältnis die richtige Reihenfolge der Teilstrecken nimmt, kann man sich merken, dass man die Strecke von links nach rechts durchläuft. Nehmen wir zum Beispiel den Punkt S. Dann haben wir links 4 Teilstücke und rechts 1. Dann verhält sich also die Strecke PS zur Strecke SQ wie 4:1 und dann ist das Teilungsverhältnis 4. Das ist dann genau der Kehrwert von 0,25. Ok, wie konstruiert man jetzt so ein Verhältnis? Mal angenommen, wir haben die Strecke PQ gegeben und haben die Aufgabe: Teile die Strecke PQ im Verhältnis 4:3. Als Erstes zeige ich schrittweise, wie das geht und danach erkläre ich auch noch, warum das funktioniert. Als Erstes zeichnet man parallele Geraden durch die Punkte P und Q. Das ist schnell erledigt. Die Strecke dort oben ist eine Hilfssenkrechte. Als Nächstes trägt man in entgegengesetzten Richtungen von P 4 gleiche und von Q 3 gleiche Strecken ab. So, dann nehme ich mal meinen selbst gebauten Zirkel hier. Danach verbindet man die äußersten Punkte der abgetragenen Strecken. Und der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Strecke PQ ist dann der Punkt T, der die Strecke PQ im Verhältnis 4:3 teilt. Und dass das auch wirklich stimmt, sehen wir mit dem Strahlensatz. Wir haben links 4 Einheiten und rechts 3. Das heißt, die äußeren parallelen Stücke verhalten sich wie 4:3 und damit auch die Strecken PT und TQ. Und was ist jetzt mit äußerer Teilung einer Strecke gemeint? Wir nehmen wieder die Strecke PQ und diesmal liegt der Punkt T zwar auf der Geraden, auf der auch die Strecke PQ liegt, aber nicht auf der Strecke PQ selber, sondern außerhalb. In diesem Fall können wir die Strecke so einteilen, dass wir von T nach P ein Teilstück haben und von T nach Q 7. Also verhält sich TP : TQ wie 1:7. Weil ich jetzt aber von P nach T in die falsche Richtung gelaufen bin, muss ich da ein Minus hinmachen. Also kommt vor das ganze Verhältnis noch ein Minus: -1:7. Wir haben also -1/7. Äußere Teilungsverhältnisse sind also immer negativ. Nehmen wir noch ein Beispiel. Die Strecke PQ und wieder liegt T außerhalb. Diesmal auf der anderen Seite. PT verhält sich zu TQ wie 2:1. Aber von T nach Q laufe ich wieder nach links, also mach ich ein Minus vor das Verhältnis und das Verhältnis ist damit -2. Auch hier gucken wir uns die Konstruktion mal an. Das ist unsere Strecke PQ und die wollen wir im äußeren Verhältnis 2:3 teilen, wir könnten auch sagen im Verhältnis -1,5. Als Erstes konstruiert man wieder parallele Geraden durch P und Q. Dann trägt man von P 3-mal und von Q 2-mal die gleiche Strecke ab, diesmal in der gleichen Richtung. Das sieht dann so aus. Und dann verbindet man wieder die äußersten Punkte miteinander. Der Schnittpunkt mit der Geraden, auf der PQ liegt, ist dann wieder der Punkt T. Warum funktioniert das Ganze? Wir haben links 3 Teilstücke und rechts 2. Das heißt, die Parallelstücke verhalten sich wie 3:2. Und dann sagt der Strahlensatz, dass sich auch die Strecken PT und TQ wie 3:2 verhalten. Und weil TQ in der falschen Richtung läuft, müssen wir wieder ein Minus davor machen. Jetzt möchte ich die wichtigsten Punkte noch einmal kurz zusammenfassen: Bei einer inneren Teilung ist das Verhältnis immer positiv, bei einer äußeren Teilung ist es immer negativ. Ein äußeres Teilungsverhältnis kann niemals -1 sein. Warum? Schauen wir uns mal diese Skizze an. Verhältnis 1 würde ja bedeuten, dass die Strecken PT und QT gleich lang sind. Das geht aber nicht, weil ja P und Q nicht aufeinander liegen. Und dann muss man noch beachten, dass man bei der Konstruktion die Strecken auf den parallelen Geraden bei der inneren Teilung in entgegengesetzter Richtung abträgt und bei der äußeren Teilung in gleiche Richtung. Ok und beim nächsten Mal erzähle ich euch dann, was eine harmonische Teilung ist. Bis dann.

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1 Kommentar
  1. Default

    Jaaaa.Natürlich

    Von Deleted User 265714, vor mehr als einem Jahr