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Transkript Innenwinkel im Parallelogramm

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zu diesem Video. Es ist das Video Geometrie, Teil 24. Das Thema lautet: Parallelogramm, das Unterthema lautet: Teil b, die Innenwinkel. Wir betrachten zunächst ein Parallelogramm. Ich zeichne für das Parallelogramm die Eckpunkte mit Großbuchstaben A, B, C und D ein. Die Seiten werden durch kleine Buchstaben a, b, c und d gekennzeichnet. Nun trage ich die Winkel ein, mit kleinen griechischen Buchstaben α, β, γ und δ. Wir bezeichnen nun die Winkel exakt durch die Eckpunkte. Der Winkel DAB=α, der Winkel ABC=β, der Winkel BCD=γ und der Winkel CDA=δ. Nun messe ich die 4 Innenwinkel des Parallelogramms aus. Ich erhalte für α=57°, für β=123°, für γ=57° und für δ=123°. Schauen wir uns die Ergebnisse doch einmal etwas näher an, zunächst α und γ: α=γ und nun β und δ, und hier gilt: β=δ. Schaut einmal auf α und β. Was fällt euch auf? Richtig, α+β=57°+123° und das ergibt 180°, nun zu α und δ: 57°+123° ergeben wieder 180°, nun zu β und γ: β+γ=123°+57°=180° und zuletzt γ und δ: γ+δ=57°+123°=180°. Schreiben wir somit die Behauptungen auf: 1. α=γ und β=δ. Schreiben wir somit die Behauptungen auf: α+β=180°, α+δ=180°, β+γ=180° und γ+δ=180°. Diese Behauptung wollen wir nun beweisen. Um den Beweis zu führen, möchte ich unser Modellparallelogramm etwas variieren. Ich nehme die Eckpunkte weg, da wir sie nicht benötigen und schreibe die 4 Parallelogrammseiten in die Fläche hinein. Wir beginnen den Beweis mit dem 2. Teil. Wir betrachten zunächst die Winkel α und β. Wir drehen das Parallelogramm etwas. Die Seiten b und d, unten und oben, sind parallel zueinander. Ich möchte das durch diese beiden Stäbe andeuten, die Parallelen darstellen. Dann sind aber α und β entgegengesetzt liegende Winkel, an einer Geraden, die Parallelen schneidet. Da α und β entgegengesetzte Winkel sind, folgt daraus: α+β=180°. Wir haben also gezeigt, dass α+β gleich 180° ist. Betrachten wir nun das Winkelpaar α und δ. Durch c geht eine Gerade, und durch die Strecke a geht ebenfalls eine Gerade. Beide sind parallel zueinander, denn wir haben es mit einem Parallelogramm zu tun. Dort ist es aber so, dass die Strecke d, wenn wir sie verlängern, als Gerade betrachtet, diese Parallelen schneidet und α und δ entgegengesetzt liegende Winkel sind. Für die Summe von entgegengesetzten Winkeln ergibt sich: α+δ=180°. Somit haben wir gezeigt, α+δ ist 180°. Betrachten wir nun das Winkelpaar β und γ. Auch hier können wir wieder argumentieren, dass es sich bei β und γ um entgegengesetzte Winkel an parallelen Geraden handelt. Somit ergibt sich: β+γ=180°. Als Letztes bleibt das Winkelpaar γ und δ übrig. Hier sind die beiden Seiten b und d parallel zueinander und auch deswegen kann man argumentieren, dass γ und δ entgegengesetzt liegende Winkel an parallelen Geraden sind und demzufolge gilt: γ+δ=180°. Wir haben somit gezeigt: γ+δ=180°. Damit haben wir die Behauptung 2 vollständig bewiesen. Wer sich den Zusammenhang von entgegengesetzten Winkeln noch einmal anschauen möchte, dem möchte ich das Video Geometrie, Teil 5 empfehlen. Wir machen weiter in unserem Beweis und wollen nun den Teil 1 der Behauptung beweisen. Dafür schreibe ich noch einmal die Eckpunkte mit Großbuchstaben an das Parallelogramm an. Schauen wir uns zunächst das Winkelpaar α und γ an. Ich nehme nun ein Parallelogramm, das zu dem auf der Tafel kongruent ist.und kennzeichne dort nur die Winkel α und γ. Ich bezeichne nun noch die Eckpunkte A, B, C und D. Ich verbinde die Punkte B und D und erhalte 2 Dreiecke, DAB und BCD. Diese sind kongruent zueinander. Das kann man zeigen, indem man das Parallelogramm entlang der Strecke BD zerschneidet. Dann erhalten wir diese beiden kongruenten Dreiecke. Noch haben wir das Parallelogramm, wenn ich es aber umdrehe, so seht ihr es, erhalte ich 2 deckungsgleiche Dreiecke, und die Winkel α und γ liegen genau übereinander. Also sind diese beiden Dreiecke kongruent. Ich lege aus ihnen wieder das Parallelogramm zusammen. Wir können auch exakt argumentieren: AD=BC, damit haben wir eine gemeinsame Seite, als Zweites gilt: AB=DC, damit haben wir die 2. gemeinsame Seite und als Drittes: DA=CB, damit haben wir die 3. gemeinsame Seite. Also gilt nach dem Kongruenzsatz SSS, dass beide Dreiecke kongruent sind. Und daraus folgt: α=γ, denn sie liegen tatsächlich aufeinander. Beide Dreiecke sind deckungsgleich, kongruent, und α und γ überdecken sich vollständig. Damit haben wir gezeigt, dass gilt: α=γ. Nun betrachten wir das Winkelpaar β und δ. Um die Gleichheit zu zeigen, nehme ich wieder ein frisches Parallelogramm, bezeichne die 4 Eckpunkte und trage die Winkel β und δ ein. Nun verbinde ich die Punkte A und C und erhalte wieder 2 Dreiecke. Es sind die Dreiecke ACD und CAB. Beide sind kongruent zueinander. Die Dreiecke haben eine gemeinsame Seite: AC, eine 2.: CD=AB und die 3.: AD=BC. Demzufolge ist für sie der Kongruenzsatz SSS, Seite-Seite-Seite, erfüllt. Damit sind diese beiden Dreiecke kongruent zueinander. Nun möchte ich diese Kongruenz durch Übereinanderlegen dieser beiden Dreiecke zeigen. Dafür zerschneide ich das Parallelogramm entlang der Strecke BD in diese beiden Dreiecke. Ich nehme nun die beiden Dreiecke und versuche, sie so zu legen, dass sie deckungsgleich sind. Und tatsächlich, es gelingt mir. Die Winkel β und δ liegen genau übereinander und sind gleich groß. Beide Dreiecke überdecken sich vollständig, sie sind deckungsgleich, kongruent. Aus dieser Kongruenz folgt nun, dass die beiden Winkel β und δ gleich groß sind, β=δ. Damit haben wir auch die Behauptung 1 vollständig bewiesen. Schaut euch die bewiesenen Behauptungen an, ich werde sie jetzt weglöschen und neu aufschreiben. Habt ihr euch alles gemerkt? Beginnen wir mit der Gleichheit. Welche Winkel waren gleich? Richtig: α=γ und β=δ. Welche Winkel ergaben zusammen 180°? Versucht es einmal zu formulieren: α+β=180°, β+γ=180° und weiter: γ+δ=180° und zuletzt: α+δ=180°. Wer gesagt hat, δ+α=180°, der hat natürlich auch recht. So, und zum Schluss möchten wir noch einen schönen Merksatz formulieren. Habt ihr eine Idee? Vielleicht so: In einem Parallelogramm sind die gegenüber liegenden Winkel gleich groß. Die Summe zweier nebeneinander liegender Winkel beträgt stets 180°. Ich bedanke mich bei euch! Es ist schön, dass ihr bis hierhin durchgehalten habt. Ich hoffe, ihr hattet auch ein wenig Spaß an dem Video, wie ich auch bei der Erstellung und wünsche euch Schülerinnen und Schülern alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!        

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7 Kommentare
  1. Default

    SUPPPEERRR Video richtig gut zum verstehen

    Von Prosic, vor 6 Monaten
  2. Default

    Mah

    Von Prosic, vor 6 Monaten
  3. Default

    Sehr sehr gutes Video ! Wenn man dieses Thema einfach nochmal wiederholen möchte , ist dieses Video bestens dafür geeignet . Aber auch für diejenigen , die das Thema noch nicht recht verstanden haben ist es ein sehr lehrreiches Video ! ;)

    Von Der Mü, vor 6 Monaten
  4. 001

    Danke für das aufmerksame Schauen.

    Alles Gute

    André

    Von André Otto, vor etwa 4 Jahren
  5. Default

    Ich meinte bei 2,20 Minuten.

    Von Jane W., vor etwa 4 Jahren
  1. Default

    Bei ca.2,50 Minuten gibt es einen Schreibfehler! Alpha + Delta, und nicht Alpha + Gamma!

    Von Jane W., vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Ein sehr lernreiches Video.

    Von Nessa 66, vor mehr als 4 Jahren
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