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Transkript Inkreisradius von Dreiecken – Einführung

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video "Der Inkreisradius des Dreiecks Teil 1". Das Unterthema des Videos heißt "Elementares Verständnis". Um besser zu verstehen, was es mit dem Inkreisradius auf sich hat, zeichne ich zunächst nicht das Dreieck, sondern den Kreis, der durch den Inkreisradius des Dreiecks gebildet wird. Die entsprechenden Dreiecksseiten bilden Tangenten an die Kreislinie. So sieht die ganze Geschichte aus. Nun zeichne ich den Mittelpunkt ein, m, und beschrifte die 3 Ecken des Dreiecks mit den Großbuchstaben A, B und C. Die entsprechenden Seiten sind dann klein a, klein b und klein c. Fällt man vom Mittelpunkt m jeweils das Lot auf die einzelnen Dreiecksseiten, so erhält man dort die berührenden Punkte der Seiten mit dem Inkreis. Die Punkte, die wir erhalten, bezeichnen wir mit P, Q und R. Da es sich um Lotfußpunkte handelt, sind die entsprechenden Winkel rechte Winkel. Dem aufmerksamen Zuhörer wird nicht entgangen sein, dass ich hier getrickst habe, denn auch wenn ich Lotfußpunkte erhalten habe, so müssen es durchaus nicht die Berührenden der Tangente mit der Kreislinie sein. Für einen solchen Fall gibt es aber einen einschlägigen Satz. Er lautet: "Der Berührungsradius einer Tangente steht senkrecht auf dieser Tangente." Also allgemein formuliert: r ist senkrecht zu t. Die drei konkreten Fälle möchte ich nennen. Einmal MR ist senkrecht zu AB, weiter MP ist senkrecht zu BC und schließlich MQ ist senkrecht zu CA. Nun werde ich noch die restlichen rechten Winkel einzeichnen. Sie sind offensichtlich, denn es sind gerade Ergänzungswinkel der rechten Winkel zum gestreckten Winkel 180°. Wir führen die Überlegungen fort. Wir verbinden nun den Mittelpunkt m mit den Eckpunkten des Dreiecks A, B und C. Wir haben nun das Dreieck ABC in 6 einzelne Dreiecke unterteilt. Diese 6 Dreiecke bilden 3 Dreieckspaare. Jedes dieser Paare verfügt über 2 kongruente Dreiecke, dass heißt wir werden jetzt diese Kongruenz der Dreiecke beweisen. Als erstes ist festzustellen, dass das Dreieck ARM kongruent zum Dreieck AQM ist. Warum ist das so? Nun, die Strecke RM = der Strecke QM, denn das ist ja gerade der Radius des Inkreises. AM = AM, das ist trivial. Und der Winkel ARM = dem Winkel AQM, denn beide betragen, das haben wir ja schon gezeigt, 90°. Dem zufolge sind die Dreiecke ARM und AQM kongruent nach dem Dreieckkongruentkriterium Seite Seite Winkel, wobei der Winkel der größten der Seiten gegenüberliegt und das ist richtig, denn er beträgt 90°. Für die anderen kongruenten Paare führt man analoge Schlüsse. Dreieck BRM ist kongruent zu Dreieck BPM, warum? RM = PM und BM = BM, der Winkel BRM ist gleich dem Winkel BPM, nämlich 90°. Demzufolge sind beide Dreiecke kongruent nach dem Kongruentskriterium für Dreiecke Seite Seite Winkel. Und schließlich der letzte Nachweis. Dreieck CPM ist kongruent zu Dreieck CQM, denn PM = QM, das ist ja gerade der Radius des Inkreises. CM = CM, das ist trivial. Und schließlich Winkel CPM ist gleich Winkel CQM, denn das - so wissen wir - = 90°. Demzufolge sind die Dreiecke CPM und CQM kongruent nach dem Dreieckkongruentkriterium Seite Seite Winkel. Um diese Kongruenz noch einmal zu veranschaulichen, wählen wir für die Dreieckpaare verschiedene Farben. Dreieck ARM und Dreieck AQM sollen orangefarben gekennzeichnet sein und hier haben wir sie im großen Dreieck eingesetzt. Für die Dreiecke BRM und BPM wählen wir die Videokillerfarbe Gelb, aber ihr denkt ja mit und hört, was ich sage. Ich lege beide Dreiecke an die entsprechenden Stellen und fülle damit weiter unser großes Dreieck auf. Und schließlich wird für die Dreiecke CPM und CQM die Farbe hellblau gewählt. Ich setze beide Dreiecke in das große Dreieck ein und wir haben damit das Dreieck ABC vollständig mit den drei kongruenten Dreieckpaaren ausgefüllt. So, 3 mal Kongruenz und es bleibt noch übrig, die Krönung unseres Schlusses zu vollführen. Betrachten wir zunächst das orangefarbene Dreieckpaar. Wir können aus der Kongruenz schlussfolgern, dass die Winkel RAM und QAM gleich sind, denn sie werden von gleichen Seiten eingeschlossen. Da der Winkel des großen Dreieck im Punkt a α ist, so muss, da sich hier der Winkel halbiert, die beiden Winkel RAM und QAM jeweils α-halbe sein und weiter geht es mit Videokiller Gelb. Wir können aus der Kongruenz schlussfolgern, dass die Winkel RBM und PBM gleichgroß sind, denn sie werden von gleichlangen Seiten der Kongruentendreiecke eingeschlossen. Demzufolge beträgt jeder dieser Winkel β-halbe. Der Winkel des großen Dreiecks im Punkt B wird als β bezeichnet und schließlich können wir einen analogen Schluss für die Dreieck CPM und CQM ableiten. Die Winkel PCM und QCM sind gleichgroß, denn sie liegen zwischen den gleichen Seiten kongruenter Dreiecke. Demzufolge betragen sie beide γ-halbe, denn der Winkel des großen Dreiecks im Punkt C wird gewöhnlich als γ bezeichnet. Das Ergebnis liegt völlig auf der Hand, wir müssen es nur noch in einen ordentlich gekleideten Satz einfügen. Der Schnittpunkt m der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreisradius des Dreiecks. So, leider schon wieder alles vorbei. Ich hoffe, ihr hattet genau so viel Spaß wie ich auch. Ich wünsche euch alles Gute, viel Erfolg und vielleicht sehen und hören wir wieder voneinander. Schreibt mir eure Bemerkungen, ob gut oder schlecht, denn ich bin daran interessiert, wie ihr diese Videos findet. Alles Gute und viel Erfolg, tschüss.

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15 Kommentare
  1. Default

    Sehr gut erklärt
    Wirklich.
    Hat mir sehr geholfen.
    Endlich verstanden!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
    (:

    Von M Walch, vor 11 Monaten
  2. Default

    Super erklärt, danke.

    Von Sana W., vor 11 Monaten
  3. Felix

    @Musab Bin Umeyir 55:
    Da hast du Recht. Wenn du ein Dreieck vorgegeben hast, dann zeichnest du die Winkelhalbierenden ein und deren Schnittpunkt gibt dir den Inkreismittelpunkt. Also in diesem Fall: Erst das Dreieck zeichnen und dann den Inkreis.
    Wenn du aber nur irgendein Dreieck zeichnen willst, dann ist folgendes einfacher: Du zeichnest zuerst einen Kreis und im Anschluss 3 Tangenten, die die Dreiecksseiten darstellen.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Unser Lehrer sagt immer, wir sollen erst ein Dreieck zeichnen und dann den Inkreis.

    Von Deleted User 265714, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    ich habe es verstanden (=!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Tosaigh, vor mehr als einem Jahr
  1. Screenshot 2015 10 03 21 22 53 1

    sehr gut erklärt

    Von Jennifer Smolka, vor fast 2 Jahren
  2. 001

    Ich denke nicht, dass das Video an zu komplizierter Darstellung leidet. Damals konnte ich (fast) alles drehen, was ich wollte und hatte (fast) keine Erfahrung. Die Situation hat sich nun doch etwas geändert.
    Nach meiner Erfahrung ist es sinnvoll, die Videos kleiner zu portionieren und gegebenfalls mit verschiedenen Schwierigkeitsgraden anzubieten. Diese Prinzipien werden nicht immer umgesetzt.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Ein bisschen zu schwer für die Leute die es nicht können

    Von Jakobus2602, vor etwa 2 Jahren
  4. 001

    Nein,
    der Thaleskreis wird gebildet durch den Durchmesser AB einer Seite eines Dreiecks mit der Kreislinie (Peripherie) des Kreises, auf dem der Eckpunkt C dieses Dreiecks liegt.
    Der Winkel BCA ist ein rechter Winkel.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    Ist dieser inkreis dasselbe wie der thaleskreis ?

    Von Claus Gramss, vor mehr als 2 Jahren
  6. 001

    Ja.

    Von André Otto, vor mehr als 2 Jahren
  7. Default

    man kann die doch auch mit den winkelhalbierenden konstruieren?

    Von Lucaflo01, vor mehr als 2 Jahren
  8. Default

    aber ich habe es verstaNDEN1;)

    Von Ewaldderr, vor fast 3 Jahren
  9. Default

    DDDDAAAAAAANNNNKKKEEEEEE DDDDUUU AAAANNDDRREEE DU(UUUU REDEST IIMMMMER VOOLLLL LLLLANNNNGGGGGSSSSAAAAMMMM

    Von Ewaldderr, vor fast 3 Jahren
  10. Default

    Danke jetzt habe ich endlich meine Hausaufgaben verstanden !

    Von Rose 1998, vor mehr als 4 Jahren
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