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Transkript Identische Geraden – Erklärung

Hallo. Es geht um Geraden und es geht um 2 Geraden und die Lage dieser beiden Geraden zueinander. Dazu habe ich hier einmal 2 allgemeine Geradengleichungen vorbereitet. Also hier z. B. die Gerade g1, die aus allen Vektoren x besteht. Kann man so sagen, ist nicht ganz 100%ig korrekt, aber sagt man auch normalerweise so. Also aus allen Vektoren x, die die Form haben s1 als Stützvektor plus λ mal r1, das ist also der Richtungsvektor. Und hier die Gerade g2 genauso, nur mit dem μ. Das Zeichen hier, das ist ein μ. Ich schreibe diesen Strich hier sehr lang, um das von allen anderen Symbolen zu unterscheiden. Meistens ist er nicht so lang. Aber nur zur Information, weil jetzt dieses μ zum ersten Mal vorkommt. Diese 2 Geraden können also identisch sein. Wie sieht man das solchen Geraden an, dass sie identisch sind? Es könnte natürlich sein, dass hier s1 gleich s2 ist und r1 auch gleich r2 ist. Dann sind diese beiden Geraden identisch. Aber das heißt nicht, dass sie nur dann identisch sind, wenn s1=s2 und wenn r1=r2 ist. Die können nämlich beide unterschiedlich sein. Wie kann man es dann trotzdem sehen, ob 2 Geraden identisch sind? Das möchte ich hier einmal demonstrieren. Zum Ersten möchte ich zeigen, wie kann das sein, dass die Geraden unterschiedliche Richtungsvektoren und unterschiedliche Stützvektoren haben und trotzdem identisch sind. Dazu habe ich zunächst einmal eine Gerade vorbereitet. Das zoome ich einmal näher heran. Da ist das Koordinatensystem. Hier vorn die positive x1-Achse, x2-Achse, x3-Achse. Und da verläuft so eine Gerade hindurch. Und jetzt könnte es natürlich sein, dass eine 2. Gerade auch da ist. Ich drehe das vielleicht einmal so herum oder so vielleicht. Da kann man es so ungefähr sehen. Also eine 2. Gerade könnte auch da sein und die ist hier quasi direkt an der 1. dran. Und das sieht dann ungefähr so aus, wenn die beiden identisch sind. Ich hoffe das kannst du sehen, dass es sich um 2 Geraden handelt, weil die Striche hier ein bisschen changieren. Jetzt könnte sich Folgendes zutragen: Das hier ist Stützvektor und das ist Richtungsvektor einer Geraden. Das ist der Richtungsvektor, heißt das richtig. Und es könnte sein, das ist auch ein Stützvektor hier dieser grüne und der hat auch einen grünen Richtungsvektor dran. Und ich glaube du kannst das sehen: Wenn man diese Vektoren hier linear kombiniert, dann sind die Endpunkte der Pfeile, die man bekommt, liegen alle auf dieser Geraden hier. Hier ist das genauso: Wenn man die grünen kombiniert, dann liegen die Endpunkte der Pfeile alle auf dieser Geraden. Oder man sagt einfach: Alle Vektoren liegen auf der Geraden. Aber dieser Stützvektor hier ist nicht gleich diesem Stützvektor und dieser Richtungsvektor ist auch nicht derselbe, wie der  hier oder auch nicht der gleiche. Was muss nun gelten, damit wir sicher sein können, dass diese beiden Geraden, also diese beiden Gleichungen hier quasi dieselbe Gerade beschreiben oder dass die beiden Geraden identisch sind. Dazu muss Folgendes gelten: Einmal haben wir ja, dass die beiden Richtungsvektoren hier quasi auf dieser einen Geraden liegen müssen und dafür gibt es ein Wort, nämlich sie müssen linear abhängig sein. D. h. also r1 und r2 müssen linear abhängig sein oder anders ausgedrückt: Entweder sie haben die gleiche Richtung oder sie haben entgegengesetzte Richtung oder was man natürlich auch sagen kann: r1 ist Vielfaches von r2. Das ist das Gleiche. Aber allgemein sagt man halt: Diese beiden Vektoren sind linear abhängig. Das reicht aber nicht, denn wenn dieser Stützvektor hier, z. B. der grüne, hier liegen würde, dann würde ja die Gerade hier verlaufen, sie würde darüber sein irgendwo und die beiden Geraden wären nicht identisch. Zusätzlich muss noch gelten, dass der Differenzvektor zwischen den beiden Stützvektoren hier, der muss auch auf dieser Geraden liegen. Zusätzlich muss also gelten: und der Differenzvektor der beiden Stützvektoren, welchen ich nehme s1-s2 oder s2-s1, ist völlig egal. Dieser Vektor und der Richtungsvektor 1 zum Beispiel, die müssen auch linear abhängig sein. Also beide müssen Vielfache voneinander sein. Hier könnte ich auch den Vektor r2 einsetzen. Das würde das Gleiche bedeuten. Was noch dazu zu sagen ist: Man kann das, was hier unter diesem Strich steht, das kann man nicht zusammenfassen zu r1, r2 und Differenzvektor müssen linear abhängig sein. Das geht nicht. Und das möchte ich hier einmal folgendermaßen demonstrieren: Wir nehmen 3 Vektoren. Das sind hier die beiden Richtungsvektoren. Die sind linear abhängig, denn wenn ich den hier z. B. mit -0,8 multipliziere, dann sieht der ja so aus, dann sind die beiden deckungsgleich. Und wenn ich den hier mit irgendetwas über 1 multipliziere, dann sehen die beiden so aus, dann haben die auch gleiche Richtung und natürlich auch gleich Länge. Das habe ich jetzt nicht ganz so gezeigt hier. Ja, gleiche Länge haben die dann. Dann sind die beiden, also r1 und r2 linear abhängig. So können die liegen. Wenn jetzt der Differenzvektor der beiden Stützvektoren hinzukommt und der z. B. hier von r1 auch linear abhängig ist, dann kann der nur noch so oder so liegen und dann liegen alle auf einer Geraden. Etwas anderes wäre es, wenn man sagt: alle 3 müssen voneinander linear abhängig sein. Dann könnte es nämlich sein, dass die beiden Richtungsvektoren zweier Geraden so aussehen und der Differenzvektor der beiden Stützvektoren sieht so aus. Auch dann, also wenn das so wäre, so z. B., dann sind sie nicht linear abhängig. Aber er könnte so liegen. Der Differenzvektor, der pinke Differenzvektor der beiden Stützvektoren, die 3 bilden eine Ebene, ich glaube, das kannst du gut sehen so. Und dann sind die 3 voneinander linear abhängig, wenn sie eine Ebene bilden. Aber ich glaube das ist ganz offensichtlich, dass die beiden hier nicht dieselbe Gerade definieren. Diese beiden Richtungsvektoren gehen natürlich auseinander. Das kann nicht dieselbe Gerade sein und deshalb kann man diese beiden Bedingungen hier auch nicht einfach zu einer Bedingung zusammenfassen, sondern hier jeweils 2 müssen voneinander linear abhängig sein, d. h. die beiden müssen Vielfache voneinander sein und die Differenz der Stützvektoren muss Vielfaches eines Richtungsvektors sein, dann sind die beiden Geraden identisch. Viel Spaß damit. Tschüss.

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2 Kommentare
  1. Felix

    @Ana Banana:
    Da hast Recht. Man zeichnet Vektorpfeile immer komplett. Wenn man schnell schreibt, kann es aber passieren, dass man unsauber schreibt.
    Das Wichtigste ist auf jeden Fall, dass man erkennt, dass es ein Vektorpfeil ist. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Frage: ich dachte in Mathe muss der Pfeil komplett gezeichnet werden oder?
    ansonsten ganz hilfreich

    Von Ana Banana, vor mehr als einem Jahr