Identische Geraden 05:01 min

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Transkript Identische Geraden

Hallo! Wie kann man von 2 Geraden nachweisen, dass sie identisch sind? Man kann sich das zunächst vorstellen, wir haben eine Gerade, die sieht so ungefähr aus vielleicht, was weiß ich so. Die hat einen Stützvektor, der führt zu diesem Punkt und einen Richtungsvektor, der liegt hier so ungefähr. Und wenn man den multipliziert, da kriegt man nur Punkte, die auf einer solchen Geraden liegen. Wenn wir eine andere Gerade haben, die auch dort verläuft, dann könnte die zum Beispiel so aussehen. Dann hat sie vielleicht einen anderen Stützvektor, aber die Gerade verläuft da, wo diese andere auch verläuft, und dann sind beide Geraden identisch. Das würde dann ungefähr so aussehen. Das heißt, 2 Geraden sind identisch, wenn zunächst mal die Richtungsvektoren hier vielfache voneinander sind - das heißt, sie müssen die gleiche oder die entgegengesetzte Richtung haben - und der eine Stützvektor der einen Gerade muss Punkt der anderen Geraden sein. Ich nehme die Geraden noch mal auseinander. Wir haben hier eine Gerade und wir haben hier eine Gerade. Und wenn der gelbe Punkt zum Beispiel auf der Geraden mit dem orangefarbenen Stützvektor liegt, dann sind beide identisch. Man kann es umgekehrt natürlich auch zeigen. Wenn der orangefarbene Stützvektor Punkt der Gerade mit dem gelben Stützvektor ist und beide Richtungsvektoren entweder gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben, dann sind beide Gerade identisch. So, also um das nachzuweisen, können wir zunächst mal gucken: Sind denn die beiden Richtungsvektoren dieser beiden gegebenen Geraden vielfache voneinander, was ja dann heißt, haben gleiche Richtung beziehungsweise haben entgegengesetzte Richtung. Wenn sie vielfache voneinander sind, dann müsste es eine Zahl k geben, für die gilt, dass man sie mit dem einen Vektor multipliziert und der andere kommt dann heraus. Aus der ersten Zeile entnehmen wir, dass k=-2 sein muss, weil der k×1=-2 sein soll. Also das geht nur, wenn k=-2 ist. Aus der 2. Zeile sehen wir, dass k×2=-4 sein muss, das heißt, k muss auch -2 sein. Und das sehen wir in der 3. Zeile genauso. Das heißt, es gibt einen k, der diese Bedingungen hier erfüllt, k=-2 und das heißt, die beiden Richtungsvektoren haben entgegengesetzte Richtungen und deshalb sind die beiden Geraden parallel. Dann müssen wir noch wissen, ob ein Stützvektor der einen Geraden Element der anderen Geraden ist oder auf dieser anderen Geraden liegt. Ich habe mich mal für diesen Stützvektor hier entschieden, für -3,1,1. Da ist er, und ich möchte gucken, ob dieser Stützvektor auf dieser 2. Geraden liegt. Er liegt dann auf dieser 2. Geraden, wenn es eine Zahl gibt, die man hier für μ einsetzen kann. Das ist der griechische Buchstabe My, das ist der griechische Buchstabe Lambda übrigens. Manche nehmen lateinische Buchstaben, rst oder was, oder α und β oder, ist egal, welche Buchstaben man nimmt. Also wir müssen für dieses μ eine Zahl einsetzen, sodass diese Gleichung richtig wird. Und diese Gleichung kann man wieder zeilenweise lesen. Also ich habe einfach die drei Zeilen hier hingeschrieben. Wenn -3=-2+μ(-2) richtig sein soll, dann muss man für μ=0,5 einsetzen. Und das gilt auch für die 2. Zeile und für die 3. Zeile. Das heißt, ja, es gibt eine Zahl, die man für μ einsetzen kann, sodass diese Gleichung hier richtig ist. Und das heißt nun wiederum, dass der Stützvektor von Gerade1 ein Punkt der Gerade2 ist. Und da wir schon wissen, dass beide Geraden parallel sind, können wir jetzt schlussfolgern, dass beide Geraden identisch sind. Viel Spaß damit - tschüss!

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