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Transkript Hypothesentests – Voraussetzungen für Entscheidungsregel

Hallo! Wir sind weiter auf der Premierenfeier, wir sind bei unserem Regisseur. Und mit Vorrücken der Zeit, zu vorgerückter Stunde und zunehmendem Alkoholgehalt, sagt der Regisseur, dass nicht nur 95% mit seiner Arbeit zufrieden sind, sondern dass es tatsächlich mehr sind. Er sagt also, 95% sind falsch, es sind mehr Leute mit mir zufrieden, als 95%. Er möchte dazu wieder eine Umfrage machen. Er möchte 20 Leute befragen. Wir gehen weiter davon aus, dass die Anzahl der Leute, die mit ihm zufrieden sind, bei dieser Umfrage vom Umfang 20, dass es sich dabei um eine binomial verteilte Zufallsgröße handelt. Das ist ein bisschen angenähert, an die Sache, aber das soll uns mal hier reichen. Und die Aufgabenstellung dazu ist: Begründen sie, warum auf einem Signifikanzniveau von 5% unter diesen Umständen die Angabe einer Entscheidungsregel nicht möglich ist und geben sie Umstände dieser Umfrage an, unter denen die Angabe einer Entscheidungsregel möglich wäre. Was kann man da machen? Wir haben zunächst die Hypothese H0. H0 heißt in dem Fall, der Regisseur sagt, p>0,95, also größer als 95%. Diese Hypothese können wir nicht testen, weil sie keine Angabe einer echten Wahrscheinlichkeit enthält. Quasi, hier gibt´s kein Gleichheitszeichen. Deshalb gehen wir von der Gegenhypothese aus, nämlich von H1, so heißt die dann immer. Und zwar schreiben wir hier, dass p≤95%. Ja, nicht so viel Alkohol trinken, dann hat man das ganze Problem auch gar nicht. Da kann man sich jetzt wieder vorstellen, wie sieht das ungefähr aus? Wir haben hier 0 Leute, also, niemand der Befragten sagt, dass er zufrieden ist. Oder es könnten 20 sein. Und hier ist die Wahrscheinlichkeit noch sehr gering und wird hier größer, und das ist fast die gesamte Wahrscheinlichkeit. Hier ist der Erwartungswert irgendwo, µ. Wir gehen nun folgendermaßen vor: Wir testen, kann H1 richtig sein oder nicht? Müssen wir H1 verwerfen, das heißt p=95%, wenn wir die verwerfen, könnten wir davon ausgehen, dass H0, also p>95%, richtig ist. Wir können das dann zumindest nicht verwerfen. Wir müssten jetzt also eine Entscheidungsregel angeben, die besagt, wann wir die Hypothese H1 p=, wir testen ja auf p=95%, wann wir das verwerfen müssten. Das wird natürlich ein einseitiger Test werden, denn wir müssen ja p nach oben hin abschätzen. Der Regisseur hat ja gesagt, es seien tatsächlich mehr Leute, und deshalb müssen wir also hier irgendwo eine Entscheidungsregel angeben. Hier, größer als der Erwartungswert. Und da kann man sich glaub ich schon irgendwie vorstellen, wo der Hase im Pfeffer liegt, wo das Problem auftauchen könnte. Wenn wir hier µ haben, ganz am Rand, µ ist ja gleich 19, der Erwartungswert ist 19, wenn 19 Leute zufrieden sind, liegt das genau auf dem Erwartungswert von 95%, von p=95%. Und erst, wenn erheblich mehr Leute als diese 19 sage, dass sie zufrieden sind, dann würden wir sagen, diese Hypothese hier, das es höchstens 95% sind, die zufrieden sind, die ist falsch. Es sind nämlich hingegen mehr Leute, die zufrieden sind. Dazu müssten also erheblich mehr Leute als diese 19 sagen, dass sie zufrieden sind. Und das kann man sich gleich denken: Das wird nichts. Erheblich mehr, wir fragen ja nur 20 Leute. Viel mehr als 19 können es ja gar nicht mehr werden, bei einem Stichprobenumfang von 20. Um die Sache hier also abzukürzen, könnte man einfach sich ausrechnen: Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass 20 Leute sagen, dass sie zufrieden sind. Und das muss man einfach 0,9520 rechnen, da kommt ungefähr raus, ich hab´s heimlich vorbereitet, 0,3585. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 20 Leute zufrieden sind. Das bedeutet also, 20 zufriedene Leute liegt bei einem Signifikanzniveau von 5% im Annahmebereich von p=95%. Es gibt überhaupt keinen Ablehnen-Bereich. Wir können diese Hypothese gar nicht nach oben hin abschätzen, und deshalb können wir auch keine Entscheidungsregel angeben. Nun war ja noch gefragt, was kann man also machen, wie könnte man die Umstände ändern, damit man doch noch eine Entscheidungsregel angeben kann? Was vielleicht einem da auf der Zunge liegen könnte: Ja, nicht so viel Alkohol trinken, dann hat man das ganze Problem auch gar nicht. Ist mathematisch jetzt irrelevant. Was man zum einen machen könnte, wäre, das Signifikanzniveau erhöhen. Wenn man also sagen würde, der α-Fehler soll jetzt mal 36% sein. Dann würden hier die 20 Befragten, die zufrieden sind, außerhalb des Annahmebereichs dieser Hypothese liegen. Es ist aber ein α-Fehler von 36% nicht besonders dolle, also unseriös, um genau zu sein. Das heißt, die Möglichkeit, dass man jetzt falsch liegt, dass also p=95% richtig ist, es aber trotzdem verworfen wird, die wäre dann 36%. Also das ist schon ziemlich hoch. Könnte man machen, ist aber nicht seriös. Wäre aber eine richtige Antwort hier bei dieser Fragestellung. Denn es wurde ja gefragt: Nennen sie eine Möglichkeit, die Umstände zu ändern, sodass man noch eine Entscheidungsregel bekommt. Andere Möglichkeit ist natürlich, man müsste n erhöhen. Man müsste erheblich mehr Leute fragen als 20, um die Hypothese p=95% nach oben hin noch abzuschätzen und nach oben hin noch seriöserweise eine Entscheidungsregel angeben zu können. Das man die Möglichkeit hat, dass erheblich mehr Leute als der Erwartungswert aussagt, mit dem Regisseur zufrieden zu sein, sodass man dann also weiter von der Hypothese H0, es sind mehr Leute zufrieden, als 95%, ausgehen könnte. Einfach n erhöhen, Stichprobenumfang erhöhen, das wäre auch eine Möglichkeit. Auf der anderen Seite, wenn wir jetzt bei der Premierenfeier sind, da sind auch nicht zig tausend Leute, wenn wir viel mehr befragen, können wir eigentlich nicht mehr von einem Bernoulli-Experiment ausgehen, außer, wir fragen die Leute gleich mehrmals. Kommt vielleicht eh nicht mehr drauf an, zu der vorgerückten Zeit jetzt. Zur vorgerückten Stunde. Ganz so dolle ist das alles nicht, aber die Aufgabe ist damit gelöst. Entweder α erhöhen oder n größer machen. Das wären mögliche Lösungen, und damit ist hier die Aufgabe erledigt. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!

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