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Transkript Höhensatz und Kathetensatz – Übung

Willkommen zur Übung des Höhen- und des Kathetensatzes! Wir werden zunächst zwei Gesetze kurz wiederholen und im Anschluss zwei Übungsaufgaben durcharbeiten. Der Kathetensatz Der Kathetensatz besagt, dass die Fläche des Quadrates b² genau so groß ist, wie die Fläche des Rechteckes p×c. Das heißt: b²=p×c. In Analogie dazu gilt: a²=q×c. Noch ein kleiner, aber wichtiger Hinweis: Formeln dienen immer nur dem Inhalt nach etwas, vertauscht man zum Beispiel die Abschnitte p und q, ändern sich auch beide Formeln. Der Höhensatz Der Höhensatz besagt, dass die Fläche des Quadrates h² genau so groß ist, wie die Fläche des Rechteckes mit den Seiten p und q. Das bedeutet: h²=p×q. Nun zur ersten Aufgabe: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Größen p=2 cm und h=3,5 cm. Gesucht sind die übrigen Größen b, c, q und a. Die Größe b erhalten wir aus dem Satz des Pythagoras: p²+h²=b². Wir müssen nun hier die Wurzel ziehen und erhalten für b: b=\sqrt(p²+h²). Setzen wir nun unsere bekannten Größen in diese Gleichung ein, erhalten wir für b: b=4,03 cm. Die Größe q erhalten wir aus dem Höhensatz h²=p×q. Stellen wir nun diese Gleichung nach q um, dann ergibt sich: q=h²/p. Jetzt setzen wir wieder unsere Werte ein und wir erhalten für q: q=6,31 cm. Wir wissen, die Seite c lässt sich auch formulieren als Summe aus p und q, so lautet unsere 3. Gleichung: c=p+q, das heißt: 2 cm+6,13 cm macht zusammen 8,13 cm. Die 4. Gleichung erhalten wir aus dem Kathetensatz mit a²=q×c, wir brauchen also hier nur die Wurzel zu ziehen und wir erhalten für a: a=\sqrt(q×c) und das Ergebnis lautet: a=7,06 cm Aufgabe 2: In Aufgabe 2 soll ein Dach für ein Einfamilienhaus konstruiert werden. Es wird vorgegeben, dass die Seiten a und b gleich groß sind und zwischen ihnen ein rechter Winkel besteht. Die Dachenden sollen jeweils um ein Drittel der halben Dachlänge über die Hauswand hinausragen. Gegeben ist der Abschnitt q mit 9 m, gesucht werden die Größen: a, b, L1 und L2, h und p. Nun zur Lösung: Wenn a und b gleich lang sind, dann müssen auch p und q gleich lang sein, das heißt p=q=9 m. Wir wollen zuerst L2 berechnen und formulieren dazu eine Gleichung L2/2=q-1/3q. Die halbe Länge von L2 ergibt sich also aus der halben Dachlänge q, abzüglich eines Drittels, genau dieser halben Dachlänge q. Wird diese Gleichung nun nach L2 umgestellt, ergibt sich für L2. L2=2q-2/3q, dieser Ausdruck kann noch zu 4/3q vereinfacht werden. Unser Ergebnis ist: L2=12 m. Die Dachlänge L1 ergibt sich aus p und q: L1=p+q und als Ergebnis erhalten wir 18 m. Jetzt benötigen wir noch die Größen a, b und h. Die Größe a können wir wieder mithilfe des Kathetensatzes berechnen: a²=q×L1, dann ergibt sich für a: a=\sqrt(q×L1)=12,73 m und weil b genau so lang sein soll wie a können wir schreiben b=a=12,73 m. Die letzte fehlende Größe h berechnen wir mit dem Höhensatz h²=p×q. Nach dem Wurzelziehen ergibt sich für h: h=9 m. Wir haben nun alle Größen zusammen und sind fertig. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit. Gruß, Markus.

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2 Kommentare
  1. Img 1374

    Sehr gut erklärt !

    Von Lucas W., vor etwa einem Jahr
  2. Default

    wiso kommt denn da jetzt bei 2min 4,03 cm raus ?

    Von Kgoerlitz, vor etwa 3 Jahren