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Transkript Hessesche Normalenform – Abstandsberechnung

Hallo! In diesem Video geht es um eine sehr einfache Methode, den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu berechnen. Wir betrachten eine Ebene, die uns in der Hesseschen Normalform gegeben ist. Das heißt, es sind ein Punkt auf der Ebene sowie ein normaler Vektor der Länge 1 gegeben. Die Ebenengleichung lautet dann: [(a^->)-(x^->)] Skalar multipliziert mit n0^->=0. Außerdem sei ein Punkt P gegeben. Gesucht ist der Abstand d zwischen dem Punkt P und der Ebene. Wir setzen den Ortsvektor p^-> in die Ebenengleichung. Mal sehen, was passiert. (a^->)-(p^->) ergibt den Vektor AP^->. Er ist sehr gut auf dem Bild zu sehen. Den Vektor AP^-> kann man als die Summe der Vektoren AB^-> und BP^-> darstellen. Nun lösen wir die Klammern auf und bekommen AB^-> Skalar multipliziert mit n0^-> + BP^-> Skalar multipliziert mit n0^->. Der Vektor AB^-> liegt auf der Ebene und die Vektoren BP^-> und no^-> stehen senkrecht auf der Ebene. Daher lassen sich die beiden Skalarprodukte wie folgt schreiben |AB^->|×|no^->|×cos90°+|BP^->|×|n0^->|×cos0°. cos90°=0. Der erste Summand verschwindet. cos0° sowie der Betrag des normalen Vektors =1, das heißt es bleibt nur |BP^->|, und das ist genau der gesuchte Abstand d. Somit haben wir Folgendes gezeigt: Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene kann berechnet werden, indem man einfach den Ortsvektor des Punktes in die Ebenengleichung in Hessescher Normalform einsetzt. Davon bilden wir noch den Betrag, da der Normalvektor auch in die andere Richtung zeigen kann. Dann würde cos180° anstelle von cos0° stehen. Dies =-1, der Abstand wäre somit negativ. Bildung des Betrages löst das Problem. Wir betrachten nun ein Beispiel. Es sei eine Ebenengleichung in der Hesseschen Normalform gegeben: [(1; 0; 1)-x^->] Skalar multipliziert mit (0; 1/ \sqrt 2; 1/ \sqrt 2)=0. Ferner sei ein Punkt P mit den Koordinaten (3; 0; 5) gegeben. Um den Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene zu berechnen, setzen wir den Punkt in die Ebenengleichung ein. Es ergibt sich |(-2; 0; -4) Skalar multipliziert mit (0; 1/ \sqrt 2; 1/ \sqrt 2)|. Dies = |0+0-4/ \sqrt 2|. Das ergibt 4/ \sqrt 2. Wenn wir nun den Zähler und den Nenner mit \sqrt 2 multiplizieren, bekommen wir als Ergebnis 2 ×\sqrt 2. So viel zur Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalform.Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Geometrie.

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2 Kommentare
  1. Default

    hat sich schon geklärt, wegen "Betrag" ist das natürlich positiv.

    Von Nico Momen, vor mehr als 5 Jahren
  2. Default

    bei der Frage zum Video erhalte ich -1/5 nicht +1/5 ?!

    Von Nico Momen, vor mehr als 5 Jahren