Textversion des Videos

Transkript Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – Beweis

Hallo, jetzt kommt der große Moment, der Beweis des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung. Ich kündige das so groß an, es ist aber eigentlich Unsinn, denn mit der Vorarbeit sind wir eigentlich schon fertig. Man muss es nur noch richtig aufschreiben. Also, ich fasse das noch mal kurz zusammen: Wir haben eine Funktion f(x), wir haben eine untere Grenze (a) und wir haben eine Integralfunktion, die die Fläche angibt zwischen Graph und x-Achse in den Grenzen von (a) bis (t), das kann man auch mit dem Integralzeichen aufschreiben, das bestimmte Integral von a bis t der Funktion f(x)dx. Der Funktionsgraph ist hier schon mal aufgemalt natürlich und wir haben auch schon abgeleitet, wir haben diese Integralfunktion abgeleitet, hatten eine kleine Idee mit dem roten Rechteck und haben festgestellt, die Ableitung der Integralfunktion ist wieder die Ausgangsfunktion. Mit den Erkenntnissen können wir weitermachen und das geordnet aufschreiben. Und das Ergebnis halte ich fest: I'a (t) = (Integral von a bis t f(x)dx), das ist jetzt f(t). Jetzt kann ich das Ganze also etwas anders aufschreiben, und zwar folgendermaßen. Ich nehme Ia, von der Funktion weiß ich, dass die Ableitung gleich f ist, einfach, klein f und damit ist Ia eine Stammfunktion. Stammfunktionen schreibt man normalerweise so: Mit groß F werden die normalerweise bezeichnet. Groß F soll jetzt mal irgendeine Stammfunktion sein, wirklich eine beliebige Stammfunktion. In unserem Zusammenhang jetzt fest, aber irgendeine beliebige Stammfunktion. Dann erhalte ich alle weiteren Stammfunktionen, indem ich ein C anfüge. Es ist nicht einmal nötig, zu wissen, dass es alle sind, es reicht, dass wir ein C einfügen und jede Stammfunktion, die so entsteht eine Stammfunktion ist. Wenn F eine Stammfunktion ist, dann ist F + C auch eine Stammfunktion, weil beim Ableiten dieses C wegfällt. Groß F ist eine Stammfunktion, weil deren Ableitung gleich klein f ist. Ich  glaube rein intuitiv vom gesunden Menschenverstand her, ist uns klar, dass die Funktion Ia nicht einfach irgendeine Stammfunktion sein kann, sondern Ia ist eine ganz bestimmte Funktion. Hier ist der Graph, das kann man nicht variieren, es ist nur ein bestimmter Funktionsgraph. Und deshalb geht es also darum, diese Konstante C noch zu bestimmen. Wenn wir irgendeine Stammfunktion rausgegriffen haben, dann müssen wir jetzt noch eine geeignete Konstante C finden, sodass dieses Gleichheitszeichen dann tatsächlich richtig ist. Und diese Konstante C finden wir durch folgende Festlegung. Wir wissen nämlich, dass Ia(a) gleich 0 ist. Denn wenn wir hier in die Integralfunktion von Ia das a einsetzen, wenn wir den Funktionswert bei a bilden, dann sehen wir, der ist 0. Warum ist er 0? Weil bei a noch keine Fläche entstanden ist, wenn die obere und untere Grenze beide Mal a ist, dann haben wir keine Fläche. Erst wenn sich t dann so ein bisschen nach rechts bewegt entsteht ja eine Fläche und die Funktionswerte werden größer als 0. Das heißt also, wenn ich jetzt hier in meine gewählte Stammfunktion das a einsetze, dann muss 0 rauskommen. Wie groß ist dann C? Dann muss C - F(a) sein, minus groß F(a). Weil groß F(a) minus groß F(a) gleich 0 ist. Also kann ich das ersetzen, und  -F(a) hinschreiben. Soweit so gut, aber wir wollen ja nicht nur wissen, was passiert, wenn man a einsetzt, sondern auch wenn man eine andere Zahl einsetzt. Zum Beispiel b. Dann muss in die Funktion natürlich auch b eingesetzt werden. Das bedeutet, wenn ich jetzt zum Beispiel wissen will, wie groß ist diese gesamte Fläche hier in dem Bereich von a bis b, zwischen dem Funktionsgraphen von f(x) und der x-Achse. Dann kann ich b in diese Integralfunktion einsetzen, in die Integralfunktion, die bei a beginnt, also in Ia, und das ist gleich diese Situation hier, ich nehme eine Stammfunktion raus, irgendeine Stammfunktion von klein f, setze in diese Stammfunktion die obere Grenze b ein und ziehe den Funktionswert dieser Stammfunktion an der unteren Grenze wieder ab und dann bekomme ich diese Fläche. Und diese Fläche ist das bestimmte Integral nach Definition. Das bestimmte Integral von a bis b der Funktion f(x) dx = F(b) - F(a). Das ist der Hauptsatz. Ich wollte euch eine Sonne drum malen, aber ich glaube das ist doch zu albern. Ja, das ist der Hauptsatz, so einfach kann das sein und der Hauptsatz bringt uns jetzt den Vorteil natürlich, wenn wir so eine, wie man so sagt, krummlinig begrenzte Fläche ausrechnen möchten, also wirklich wissen wollen, wie groß ist diese Flächenmaßzahl, dann reduziert sich dieses Problem, also die genaue Bestimmung dieses bestimmten Integrals, dann reduziert sich dieses Problem darauf eine Stammfunktion zu finden. Irgendeine Stammfunktion tut es. In diese Stammfunktion müssen wir dann nur noch die beiden Grenzen einsetzen und erhalten dann als Ergebnis die Flächenmaßzahl dieser Fläche, die du hier sehen kannst. Also dieser Gesamten. Es ist nicht immer einfach diese Stammfunktion zu finden, aber in vielen Fällen, gerade bei den Fällen, die du in der Schulmathematik behandeln wirst, ist das häufig außerordentlich einfach. Damit kann man eben sehr viel schön rechnen und das auch relativ einfach gestalten und relativ übersichtlich. Dann viel Spaß damit, tschüss!

Informationen zum Video