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Transkript Harmonische Teilung einer Strecke

Hallo! In diesem Video geht es um die harmonische Teilung einer Strecke. Man sollte dabei schon wissen, was die innere und äußere Teilung einer Strecke ist. Wenn man über harmonische Teilung einer Strecke redet, dann meint man 4 Punkte, und zwar erst einmal die Punkte P und Q, die zusammen eine Strecke bilden, dann gibt es noch den Punkt T, der die Strecke PQ von innen teilt, sagen wir mal im Verhältnis ?, und der 4. Punkt ist der Punkt S, der teilt die Strecke PQ von außen, und zwar auch im Verhältnis ?. Als Beispiel nehmen wir hier mal diese 4 Punkte: P, Q, T und S. Da verhält sich die Strecke PT zur Strecke TQ je 2:1, also T teilt die Strecke PQ von innen im Verhältnis 2. Und PS verhält sich zu SQ, wie 6:3, bzw. -6:3, weil wir ja bei SQ in die andere Richtung laufen. Das heißt, der Punkt S teilt die Strecke PQ im äußeren Verhältnis 2, bzw. im Verhältnis -2. Wir könnten also bei der Definition auch statt von außen im Verhältnis ? schreiben im Verhältnis -?. Hat man jetzt eine Strecke PQ gegeben, und soll sie harmonisch in einem bestimmten Verhältnis teilen, so kann man sie zunächst von innen in diesem Verhältnis teilen. Man konstruiert also Parallelen, trägt gleich große Teilstücke ab, verbindet die äußersten und erhält dann den Schnittpunkt T. Und dann teilt man die Strecke im äußeren Verhältnis 1:3. Wieder nach den Regeln, die wir schon kennen. Schwieriger wird es, wenn man schon 3 Punkte gegeben hat, und nur noch den 4. konstruieren soll, sodass die ganze Teilung harmonisch ist. Sagen wir mal, wir haben diese Strecke PQ gegeben, und den inneren Teilungspunkt T. Gesucht ist also dann der äußere Teilungspunkt S, so dass insgesamt eine harmonische Teilung vorliegt. Als 1. zeichnet man sich wieder Hilfsparallelen durch die Punkte P und Q, am besten in entgegengesetzter Richtung, und zeichnet dann eine Gerade durch T, die die beiden Hilfsparallelen schneidet. Die Schnittpunkte nennen wir dann A und B. Als nächstes trägt man den Abstand des Punktes B von Q auf der anderen Seite der Geraden noch mal ab und bezeichnet den so entstehenden Punkt als B´. Dann zeichnet man eine Gerade durch die Punkte A und B´, verlängert diese, und der Schnittpunkt dieser Geraden mit unserer ursprünglichen Geraden ist der äußere Teilungspunkt S. Jetzt wollen wir mal sehen, warum das funktioniert. PT zu TQ ist unser inneres Verhältnis. Das verhält sich nach dem Strahlensatz wie BA zu QB. Da die Strecken QB und QB´ gleich lang sind, ist das das gleiche Verhältnis wie PA zu QB´. Jetzt wenden wir wieder den Strahlensatz an, diesmal für den Schenkel S, und da muss das Verhältnis gleich sein mit dem Verhältnis PS zu QS. Insgesamt ist also das innere Teilungsverhältnis gleich dem Äußeren. Jetzt betrachten wir noch den Fall, in dem der äußere Teilungspunkt S gegeben ist, und der innere Teilungspunkt T gesucht ist, so dass die ganze Teilung harmonisch ist. Wir konstruieren wieder Hilfsparallelen. Diesmal zunächst auf der gleichen Seite der Gerade, und ziehen von S aus eine Gerade, die beide Parallelen schneidet. Die Schnittpunkte nennen wir wieder A und B. Dann tragen wir den Abstand von Q zu B wieder auf der anderen Seite der Geraden ab, und nennen den neuen Punkt B´, und verbinden am Schluss die Punkte A und B´. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt T. Im Prinzip ist die Konstruktion also die gleiche wie eben, nur in umgekehrter Richtung. Nun verhält sich unser äußeres Teilungsverhältnis PS zu SQ wieder wie PA zu QB, nach dem Strahlensatz. Und das verhält sich wie PA zu QB´, weil QB und QB´ gleich lang sind. Und das verhält sich nach Strahlensatz wieder wie PT zu TQ. Also ist das äußere Teilungsverhältnis gleich dem Inneren. Ja, und das war´s zur harmonischen Teilung.

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1 Kommentar
  1. Default

    Nächstes mal kleines bischen langsamer bitte :)

    Von Adrian123, vor fast 4 Jahren