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Transkript Grenzwerte von Funktionen für x → x0 – Polynomdivision

In diesem Video möchte ich euch anhand eines Beispiels mal vorrechnen, wie man rauskriegt welchen Grenzwert eine gebrochenrationale Funktion an einer Definitionslücke hat. Unser Beispiel ist diese gebrochenrationale Funktion. Die hat 2 Definitionslücken nämlich -1 und 1, das sieht man, denn das sind die Nullstellen des Nenners. Wenn wir da jetzt versuchen wollen den Grenzwert der Funktion für x gegen 1 oder -1 zu berechnen, können wir natürlich 1 und -1 nicht einsetzen, weil sie ja eben nicht definiert sind. Deswegen gehen wir da anders vor. Erster Schritt ist: Ist der Funktionsterm nicht echt gebrochen, dann führe eine Polynomdivision durch. Das muss man zwar nicht unbedingt machen, aber es ist sehr hilfreich für die späteren Rechnungen. Bei uns ergibt das diesen Funktionsterm: x + 4 + 6x + 6/×2 - 1.  Zweiter Schritt: Zerlege im echt gebrochenen Teil Zähler und Nenner so weit wie möglich in Faktoren, das geht dann mit Nullstellenbestimmung und Polynomdivision. Hier klammern wir die 6 aus und im Nenner haben wir die dritte binomische Formel. Und was können wir jetzt mit den Faktoren anfangen? Kürzt sich für die Definitionslücke x0 der Term x - x0 aus dem Nenner heraus, kann man x0 einfach in die gekürzte Funktion einsetzen. Das ist in unserem Beispiel für x0 = -1 der Fall, dann ist also der lim f(x) für x gegen -1 = (jetzt einsetzen) -1 + 4 + 6/ -1 - 1 und das ergibt 0. Kürzt sich für die Definitionslücke x0 der Term x - x0 nicht aus dem Nenner, so setze für x den Term x0 ± 1/n ein und berechne das Grenzverhalten für n gegen ?. Und was damit genau gemeint ist, das wollen wir uns jetzt mal anschauen. In unserem Beispiel können wir also die 1 immer noch nicht einsetzen, deswegen nehmen wir den Grenzvorgang 1 + 1/n für n gegen ? und das ist ja dasselbe als würde x von oben gegen 1 gehen. Und deswegen setzen wir den überall für x ein. Da haben wir also lim f(x) für x von oben gegen 1 = lim für n gegen ? (1 + 1/n + 4 + 6/ (1+ 1/n - 1). 1 + 4 = 5 und im Nenner hebt sich die 1 weg. Dann betrachten wir die Summe der Einzelgrenzwerte und ersetzen 6 durch 1/n gleich durch 6n und das ergibt dann 5 + 0 + ? = +?. Und wenn wir jetzt den lim f(x) für x von unten gegen 1 betrachten, setzen wir für x 1 - 1/n ein, es soll ja von unten gegen 1 gehen. Da können wir wieder die Zahlen zusammenfassen und die 1 fällt weg im Nenner. Dann nehmen wir wieder die Summe der Einzelgrenzwerte und machen aus 6/-1/n -6 × n und da ergibt sich 5 - 0 + (-?) = -?. Und um jetzt nochmal kurz auf die Bemerkung am Anfang mit der Polynomdivision zurückzukommen, wir hätten das Verfahren von jetzt gerade auch mit dem eigentlichen Funktionsterm machen können. Aber ohne Polynomdivision hätten wir da sehr schwierige Terme bekommen, also 1 + 1/n3 usw. Und das wäre viel schwieriger auszurechnen als so wie wir es jetzt gemacht haben. Und unsere Funktion sieht übrigens so aus: Die geht also für x von rechts gegen 1 gegen +?. Dann bei -1 ist sie nicht definiert nähert sich aber von beiden Seiten der Null ist also eine Definitionslücke, eine hebbare. Und für x von links gegen 1 geht sie gegen -?. Ok, und damit sind wir fertig.

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9 Kommentare
  1. Default

    es wird leider etwas zu schnel erklärt das finde ich schade

    Von Jaeger M2001, vor 9 Monaten
  2. Bewerbungsfoto

    Das tut mir leid. Wenn du konkrete Fragen hast, helfe Ich dir gerne weiter.

    Von Steve Taube, vor etwa einem Jahr
  3. Default

    jetzt versteh ich es noch weniger als zuvor. DANKE

    Von Kelly Ann Eisner, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    Vielen Dank :)
    Mit etwas nachdenken kommt man auf das richtige Ergebnis.

    Von Selcuk Privat, vor fast 2 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Ecv Ricci,

    bei dem Beispiel im Video steht bei 2.45 der Term
    lim n-->∞ (5 + 1/n + 6n), dann werden die Summanden einzeln betrachtet, der erste bleibt konstant 5, der zweite geht gegen 0 und der dritte (6n) geht gegen +∞, weil n gegen ∞ geht, also positiv ist und das 6-fache davon auch positiv bleibt.
    Bei 3.10 steht da der Term
    lim n-->∞ (5 - 1/n - 6n), wieder betrachten wir die Summanden einzeln: 5 bleibt konstant 5, -1/n geht gegen 0 (da ist das Vorzeichen egal) und -6n geht gegen -∞, weil das (gegen ∞ wachsende) n mit -6 multipliziert wird. Es wächst also unendlich ins Negative. Insgesamt ist die Summe dann 5 - 0 - ∞, also -∞.

    Dies beantwortet deine Frage zumindest für das Video. Falls du noch mehr Fragen hast, kannst du sie hier stellen. Versuche mir dann zu sagen, bei welchem Typ Aufgabe du Probleme hast.
    Das Nachfolgervideo zu diesem Video beantwortet hierzu auch noch weitere Fragen und stellt Regeln auf.

    Viel Erfolg, Steve

    Von Steve Taube, vor etwa 2 Jahren
  1. Default

    ich hab das nicht verstanden wie man bestimmen kann ob es nach + unendlich oder -unendlich geht

    Von Ecv Ricci, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    -1^2 bedeutet -1*-1=+1, weil - mal - gibt +
    Daher ist -1^2 - 1 = 0

    Von Deleted User 39796, vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Warum ist bei -1 eine Def.Lücke?
    -1^2-1 = -2
    Bitte um Erläuterung, Danke.

    Von Minol, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    ....

    Von Encadilado Sabi2011, vor fast 6 Jahren
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