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Transkript Graphisches Aufleiten

Hallo, schön, dass du mal wieder hier bist. Heute wirst du lernen, wie du aus dem Graphen der Ableitungsfunktion die Funktionsgleichung der Ursprungsfunktion bestimmen kannst. Dies ist praktisch die Umkehrung vom graphischen Differenzieren und wird graphisches Aufleiten oder auch graphisches Integrieren genannt.

Funktionsgleichung bestimmen Beispiel 1

Ich möchte dir das an zwei verschiedenen Beispielen erklären. Fangen wir mit einem einfachen Beispiel an. Dazu betrachten wir einfach mal dieses Schaubild:

Das ist der Graph der Ableitungsfunktion f'. Die Ausgangsfunktion f kennen wir nicht. F' ist - wie du siehst - eine Gerade, die parallel zur x-Achse durch den y-Achsenabschnitt 3 verläuft. Ableitungsfunktionen geben immer die Steigung der Ursprungsfunktion an. Also hat die Funktionsgleichung der Ursprungsfunktion an jeder Stelle die Steigung 3.

Nur, welche Art einer Funktion hat immer dieselbe Steigung? Ja, genau, es ist die Gerade oder auch lineare Funktion. Die Funktionsgleichung lautet bei unserem Beispiel also f(x) = 3x + … Hmmm, wie geht’s denn jetzt weiter?

Den y-Achsenabschnitt, durch den die Gerade verläuft, können wir leider nicht bestimmen, es kann jede beliebige reelle Zahl sein. Das kannst du dir auch an den folgenden drei Graphen klarmachen.

  • Der schwarze Graph hat die Funktionsgleichung f(x) = 3x.
  • Der rote Graph hat die Funktionsgleichung f(x) = 3x+ 1.
  • Der blaue Graph hat die Funktionsgleichung f(x) = 3x - 1.

Die drei Graphen laufen parallel zueinander, haben also dieselbe Steigung und auch dieselbe Ableitungsfunktion f strich von x = 3. Also muss die Funktionsgleichung f(x) = 3x + c heißen. c ist dabei eine beliebige reelle Zahl. Zum Beispiel die 1 oder minus 1.

Funktionsgleichung bestimmen Beispiel 2

Kommen wir nun zum zweiten Beispiel. Hier siehst du den Graph einer Ableitungsfunktion f'. Die Ausgangsfunktion f wollen wir im Folgenden bestimmen.

Wiederholen wir dazu doch noch einmal die Regeln, wie man eine Ableitungsfunktion aus dem Graphen der Ursprungsfunktion zeichnen kann.

  • Die Stellen der Extremwerte - also: Hochpunkte und Tiefpunkte - der Ursprungsfunktion sind bei der Ableitungsfunktion die Nullstellen.
  • Ist die Steigung der Ursprungsfunktion positiv, so verläuft der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb der x-Achse.
  • Ist die Steigung der Ursprungsfunktion negativ, so verläuft der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse.

Nun müssen wir zunächst einmal die Funktionsgleichung von f' bestimmen. Der Graph ist eine Gerade, die durch den y-Achsenabschnitt minus 2 verläuft.

Nun müssen wir noch die Steigung der Geraden bestimmen. Wenn man vom y.Abschnitt einen Schritt nach rechts geht, dann geht man gleichzeitg zwei Schritte nach oben. Also beträgt die Steigung der Geraden 2. Die Funktionsgleichung von f' lautet deshalb 2 x - 2.

Die Nullstelle dieser Ableitungsfunktion liegt bei x = 1. Also hat die Ursprungsfunktion bei x = 1 eine Extremstelle.

Links von der Extremstelle verläuft die Gerade der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse und rechts von der Extremstelle verläuft sie oberhalb der x-Achse. Deshalb ist links von der Extremstelle die Steigung der Ursprungsfunktion negativ und rechts von der Extremstelle positiv. Bei der Extremstelle handelt es sich also um einen Tiefpunkt. Deshalb ist der Graphen der Ursprungsfunktion vermutlich eine Parabel.

Allerdings kann es sich nicht um die Normalparabel x Quadrat handeln, denn der Tiefpunkt ist nicht am Koordinatenursprung. Es muss daher um eine Parabel der Form f von x = a · x quadrat plus b · x + c sein.

Wie erhalten wir nun aber die Werte für a, b und c? Ganz einfach – wir bilden als erstes die Ableitung unserer Parabel. Die sieht dann so aus: f'(x) = 2 · a · x + b. Wenn wir nun diese Ableitung mit der vorhin ermittelten Funktionsgleichung f'(x) = 2 · x - 2 vergleichen, können wir a und b ganz einfach ablesen.

b ist dann nämlich -2. Wenn man für a nun die 1 einsetzt, dann erhält man die Steigung von f'(x), nämlich 2. Also ist a = 1. Wir erhalten damit folgende Funktionsgleichung für die Parabel: f(x) = x² - 2x + c.

Auch hier können wir - wie beim Beispiel zuvor - das c nicht ermitteln. Es gibt also unendlich viele Funktionsgleichungen, die sich alle um den reellen Summanden c unterscheiden. Die Ursprungsfunktion kann also nach oben beziehungsweise unten verschoben sein.

Diesen Sachverhalt kannst du dir noch einmal an den 3 Graphen klar machen.

  • Der schwarze Graph gehört zur Funktion f mit der Gleichung f von x = x² - 2x .
  • Der rote Graph gehört zur Funktion f mit der Gleichung f von x = x² - 2x + 1
  • Der blaue Graph gehört zur Funktion f mit der Gleichung f von x = x² - 2x - 1.

Alle drei Funktionsgleichungen unterscheiden sich, haben aber dennoch dieselbe Ableitungsfunktion f'(x) = 2 · -2.

Zusammenfassung

Wir haben heute viel gelernt. Du kennst jetzt das Verfahren zur Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen der Ableitungsfunktion, was auch als graphisches Integrieren bezeichnet wird. Ich hoffe, dass du alles verstanden hast und wünsche dir noch einen angenehmen und erlebnisreichen Tag! Tschüss!!!

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2 Kommentare
  1. Dsc 0434

    Vielen Dank! Besser kann man es nicht erklären ;)

    Von T.Imo, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    Das hat mir wirklich geholfen, vielen Dank!!

    Von Narasalia, vor etwa 2 Jahren