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Transkript Graphisches Ableiten – Übung (2)

Hallo! Heute üben wir gemeinsam, wie du aus dem Graphen einer Winkelfunktion die dazu gehörige Ableitungsfunktion zeichnen kannst.

Regeln beim Ableiten

Beim Ableiten musst du dir allgemein folgendes merken:

  1. An den Extremstellen der Ursprungsfunktion f(x) ist die Steigung gleich null. Daher hat die Ableitungsfunktion f'(x) hier Nullstellen.
  2. An den Wendestellen der Ursprungsfunktion f(x) ist die Steigung maximal bzw. minimal. Daher hat die Ableitungsfunktion f'(x) hier Extremstellen.
  3. Eine positive Steigung an einer Stelle der Ursprungsfunktion führt bei der Ableitungsfunktion zu einem positiven y-Wert an dieser Stelle.
  4. Eine negative Steigung an einer Stelle der Ursprungsfunktion führt bei der Ableitungsfunktion zu einem negativen y-Wert an dieser Stelle.
  5. Die Steigung der Ursprungsfunktion an der Stelle x1, ist der Funktionswert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle x1.

Ableitung Sinus-Funktion

Als Beispiel schauen wir uns einmal den Graphen der Sinus-Funktion an. Diese Funktion ist, wie du sicherlich weißt, periodisch, mit einer Periodenlänge von 2 Pi. Da die Sinus-Funktion an den Stellen minus Pi halbe, bei Pi Halbe und bei 1,5 Pi Extremstellen hat, besitzt die zugehörige Ableitungsfunktion an diesen Stellen ihre Nullstellen.

Die Wendestellen des Graphen der Sinusfunktion sind minus Pi, 0, plus pi und 2 pi. Dort sind dann bei der zugehörigen Ableitungsfunktion die Extremstellen.

Nun musst du nur noch die Steigungen der Ursprungsfunktion f(x) = sin(x) anschauen. Ist die Steigung positiv, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb der x-Achse. Ist die Steigung negativ, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse.

Es entsteht nun folgender Graph. Schau ihn dir genau an. Fällt dir vielleicht etwas auf? Es ist der Graph der Kosinus-Funktion.

Es gilt also: Die Ableitungsfunktion der Sinus-Funktion ist die Kosinus-Funktion. Oder anders ausgedrückt: f(x) = sin(x) ist f'(x) = cos(x).

Ableitung Kosinus-Funktion

Dann wollen wir mal schauen, ob die Kosinus-Funktion genauso einfach differenziert werden kann. Dies machen wir aber nun etwas schneller. Schau dir erst noch einmal den Graphen der Kosinus-Funktion an.

Bei minus Pi, bei 0, plus pi und bei 2 pi sind hier die Extremstellen, also hat die Ableitungsfunktion dort die Nullstellen.

Die Wendestellen der Kosinus-Funktion befinden sich bei minus Pi halbe, bei Pi Halbe und bei 1,5 Pi, dort hat unsere Ableitungsfunktion die Extremstellen.

Nun musst du nur noch die Steigungen der Ursprungsfunktion f(x) = cos(x) anschauen. Ist die Steigung positiv, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb der x-Achse. Ist die Steigung negativ, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse.

Schauen wir uns unsere Ableitungsfunktion zur Kosinus-Funktion an, so kann man folgendes erkennen: Es handelt sich um eine Sinus-Funktion die an der x-Achse gespiegelt wurde. Somit gilt: Die Ableitung der Funktion f(x) = cos(x) ist f'(x) = -sin(x).

Zusammenfassung

So, das war es mal wieder für heute. Wir haben gelernt, dass man auch Winkelfunktion graphisch ableiten kann. Dabei gilt die Merkregel in Kurzform: sin'(x) = cos(x) und cos'(x) = -sin(x)

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag! Wir sehen uns bestimmt bald wieder!

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