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Transkript Graphisches Ableiten – Übung (1)

Hallo! Heute üben wir, wie man anhand des Graphens einer Potenzfunktion den Graphen der Ableitungsfunktion bestimmt.

Regeln beim Ableiten

Beim Ableiten musst du dir allgemein folgendes merken:

  1. An den Extremstellen der Ursprungsfunktion f(x) ist die Steigung gleich null. Daher hat die Ableitungsfunktion f'(x) hier Nullstellen.
  2. An den Wendestellen der Ursprungsfunktion f(x) ist die Steigung maximal bzw. minimal. Daher hat die Ableitungsfunktion f'(x) hier Extremstellen.
  3. Eine positive Steigung an einer Stelle der Ursprungsfunktion führt bei der Ableitungsfunktion zu einem positiven y-Wert an dieser Stelle.
  4. Eine negative Steigung an einer Stelle der Ursprungsfunktion führt bei der Ableitungsfunktion zu einem negativen y-Wert an dieser Stelle.
  5. Die Steigung der Ursprungsfunktion an der Stelle x1, ist der Funktionswert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle x1.

Graph bestimmen: Beispiel f(x) = x²

Als Beispiele schauen wir uns die Funktionen f(x) = x² und g(x) = x³ an. Betrachten wir zunächst die Funktion f(x) = x². Wenn wir eine Wertetabelle für diese Funktion erstellen, erhalten wir für x–Werte von -3 bis +3 folgende Ergebnisse:

Für den x- Wert -3 erhalten wir den Funktionswert 9, für x gleich -2 erhalten wir den y- Wert gleich 4, für x gleich -1 erhalten wir den y- Wert 1 und für x gleich null erhalten wir den Funktionswert 0. Die restlichen Punkte ergeben sich aus der Achsensymmetrie des Funktionsgraphens zur y- Achse.

Der Funktionsgraph sieht folgendermaßen aus.

Nun suchen wir mögliche Extremstellen, also Stellen, an denen die Steigung Null ist und an die wir eine waagerechte Tangente anlegen können. Das ist nur an der Stelle x = 0 der Fall.

Aus dem Merksatz 5: Die Steigung der Ursprungsfunktion an der Stelle x1, ist der Funktionswert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle x1. Somit geht der Graph der Ableitungsfunktion also durch den Punkt P1(0|0).

Jetzt suchen wir mögliche Wendestellen. Die Wendestellen finden sich immer dort, wo der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder eben umgekehrt von rechts nach links. In dieser Funktion aber haben wir durchgängig eine Linkskurve. Da es keinen Übergang zu einer Rechtskurve gibt, haben wir deshalb auch keine Wendestelle.

Nun sehen wir uns an, in welchen Abschnitten die Steigung der Funktion positiv und in welchen negativ ist. Links vom Ursprung haben wir eine negative Steigung und rechts eine positive Steigung.

Wir wissen, dass eine positive Steigung an einer Stelle der Ursprungsfunktion bei der Ableitungsfunktion zu einem positiven y-Wert an dieser Stelle führt.

Hingegen eine negative Steigung an einer Stelle der Ursprungsfunktion, bei der Ableitungsfunktion zu einem negativen y-Wert an dieser Stelle führt.

Der Graph der Ableitungsfunktion verläuft somit im ersten und im dritten Quadraten unseres Koordinatensystem. Versuchen wir jetzt noch herauszufinden, wo die Steigung 1, 2, 3 oder vielleicht sogar 4 ist. Nach dem Merksatz 5 hilft uns dies, um die Lage einiger Punkte des Graphens der Ableitungsfunktion zu erhalten .

Wenn wir eine Stelle mit der Steigung 1 suchen, dann suchen wir eine Stelle, an der die angelegte Tangente die Steigung 1 besitzt. Man also immer eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben geht. Also etwa an der Stelle x = 0,5. Ein weiterer Punkt des Graphens der Ableitungsfunktion ist somit P2 (0,5|1).

Jetzt versuchen wir eine Tangente anzulegen, die die doppelte Steigung hat. Das müsste etwa an der Stelle x = 1 sein. Wir erhalten den Punkt P3 (1|2) des Graphens der Ableitungsfunktion. Die Steigung 3 finden wir bei etwa x = 1,5. Ein Punkt der Ableitungsfunktion ist somit P4 (1,5|3).

Die Steigung +4 schaffen wir auch noch, allerdings ist sie schon ein bisschen steil und daher nicht mehr so gut zu bestimmen. Der dazugehörige x-Wert liegt bei 2, also etwa hier. Wir erhalten somit den weiteren Punkt P5(2|4) für den Graphen der Ableitungsfunktion.

Wenn wir auf der linken Seite der Parabel die Steigungen -1, -2, -3 und -4 ermitteln, erkennen wir, dass diese die gleichen Beträge, wie auf der rechten Seite haben, nur mit negativem Vorzeichen.

Wir erhalten somit folgende Wertetabelle für den Graphen der Ableitungsfunktion.

Wenn wir jetzt in unserem neuen Koordinatensystem alle Punkte einzeichnen und miteinander verbinden, dann erhalten wir eine Gerade. Hier können wir sogar recht einfach die Funktionsgleichung der Ableitung ablesen. Es handelt sich um f(x) = 2x.

So, das war jetzt eine mögliche Herangehensweise bei der Funktion f(x) = x².

Graph bestimmen: Beispiel g(x) = x³

In unserem zweiten Beispiel g(x) = x³ sieht die Wertetabelle so aus. Aus der Wertetabelle lesen wir dir Punkte (-3|-27), (-2|-8), (-1|-1), (0|0), (1|1), (2|8) und (3|27) ab. Der Graph der Funktion sieht folgendermaßen auß. Er ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Zuerst sehen wir wieder nach, ob wir eine Stelle finden, an der die Steigung der Tangenten Null ist, also die angelegte Tangente waagerecht liegt. Das ist bei x = 0 der Fall. Hier haben wir einen Sattelpunkt. Der Graph der Ableitungsfunktion geht folglich durch den Koordinatenursprung.

Wenn wir nach der Krümmung schauen, sehen wir, dass der Graph der Funktion links neben dem Wendepunkt eine Rechtskurve und rechts neben dem Wendepunkt eine Linkskurve beschreibt. Dazwischen, also bei x = 0, liegt die Wendestelle, die Übergangsstelle zwischen Linkskurve und Rechtskurve.

Wenn wir untersuchen, wo wir eine positive bzw. negative Steigung haben, dann stellen wir hier fest, dass bis auf unsere Sattelstelle alle Steigungen positiv sind. Aus Merksatz 3 folgt, dass die y- Koordinaten der Punkte der Ableitungsfunktion alle positiv sind. Der Graph der Ableitungsfunktion kann somit nur im ersten und zweiten Quadraten unseres Koordinatensystems verlaufen.

Jetzt versuchen wir wieder markante Steigungen wie 1, 2, 3 zu finden; negative haben wir ja nicht. Diesmal kommen alle Steigungen doppelt vor. Die Steigung 1 gibt es etwas rechts von x = +0,5 und einmal etwas links von x= -0,5. Die Steigung 2 finden wir ungefähr bei x = +0,8 und -0,8. Und die Steigung 3 bei x=1 und x=-1. Danach werden die Werte schnell sehr groß.

Wie sieht nun unsere Wertetabelle für den Graphen der Ableitungsfunktion aus? Wir erhalten folgende Wertetabelle für den Graphen der Ableitungsfunktion.

Eingezeichnet sieht das dann wie eine in y- Richtung gestreckte Parabel aus. Dieser Graph stellt jetzt ungefähr die jeweilige momentane Steigung der Ursprungfunktion g von x gleich x hoch drei dar. Der von uns skizzierte Graph ähnelt dem Graphen der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=3x². Genau genommen wird die Ableitungsfunktion g'(x) durch 3 x² beschrieben.

Zusammenfassung

Wir fassen zusammen: Du siehst, es ist gar nicht so schwer, eine Funktion graphisch abzuleiten. Such Dir alle markanten Stellen und Abschnitte des Graphen der Funktion heraus und entwickle daraus Schritt für Schritt die Wertetabelle und dann den Graphen Deiner Ableitungsfunktion.

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