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Transkript Graphisches Ableiten

Hallo, schön, dass du mal wieder da bist! Heute wirst du lernen, wie man aus dem Graphen einer Funktion den Graphen ihrer Ableitungsfunktion herleiten kann. Du wirst sehen, dass man dazu gar nicht die Funktionsgleichung benötigst. Du wirst in diesem Video also lernen, grafisch abzuleiten.

Steigung des Graphen f

Wie du sicherlich weißt, gibt die Ableitung an einer Stelle die Steigung der zugehörigen Funktion an dieser Stelle an. Dabei müssen wir verschiedene Sachverhalte betrachten:

Zunächst einmal ist die Steigung des Ursprungsgraphen f von besonderen Interesse. Ist die Steigung von f positiv, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion f Strich natürlich oberhalb der x-Achse, da die Steigung von f ja positiv ist. Natürlich gilt auch der umgekehrte Fall, ist die Steigung von f negativ, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion f Strich unterhalb der x-Achse.

Dies möchte ich an einem Beispiel erklären. Du siehst hier den Funktionsgraphen der Funktion f(x) = 4 x². Zunächst fällt der Graph bis zur Extremstelle x = 0. Danach steigt der Funktionsgraph an.

Wenn man nun den Graphen der Ableitungsfunktion f' anschaut, so sieht man, dass er bis zur Extremstelle x = 0 unterhalb der x-Achse verläuft und danach oberhalb der x-Achse verläuft. Dies ist deshalb der Fall, da der Graph der Ursprungsfunktion nach der Extremstelle ansteigt.

Extremstellen des Graphen f

Neben der Steigung sind auch die Extremstellen charakteristisch und helfen uns beim Zeichnen des Graphen der Ableitungsfunktion.

An jeder Extremstelle einer Funktion – also einem Hoch- oder Tiefpunkt – beträgt die Steigung 0. Deshalb hat an diesen Stellen die Ableitungsfunktion f' ihre Nullstellen.

Schauen wir uns dies einmal an einem Beispiel genauer an. Der rote Funktionsgraph stellt hier die Gleichung f(x) = x hoch 4 − 2x² dar. Der blaue Funktionsgraph stellt die dazugehörige Ableitungsfunktion f strich dar

Unsere Ursprungsfunktion hat drei Extremstellen. Schau einmal genau hin: Denn an genau diesen Stellen hat der Graph der Ableitungsfunktion seine Nullstellen.

Weißt du auch noch, warum? Richtig. Weil die Ableitungsfunktion f' die Steigung der Funktion f abbildet und die Steigung von f an Extremstellen null ist.

Indem du also die Steigung und Extremstellen einer Funktion beachtest, kannst du den Graphen ihrer Ableitungsfunktion zeichnen. Dies möchte ich dir nun abschließend an einem letzten Beispiel wiederholen.

Beispiel Graphen der Ableitungsfunktion zeichnen

Hier siehst du den Graphen einer gewöhnlichen Parabel. Die Funktionsgleichung interessiert uns beim grafischen Ableiten nicht. Welche Merkmale helfen uns nun aber dabei, die Parabel grafisch abzuleiten.

Als erstes müsste dir der Tiefpunkt der Parabel auffallen. An dieser Stelle hat die Ableitungsfunktion also einen Nullpunkt. Da die Steigung der Parabel links vom Tiefpunkt negativ ist, befinden sich die Funktionswerte der Ableitungsfunktion links der Nullstelle unterhalb der x-Achse.

Und da die Steigung der Parabel rechts vom Tiefpunkt positiv ist, befinden sich die Funktionswerte der Ableitungsfunktion rechts der Nullstelle überhalb der x-Achse.

Da es sich beim Graphen der Ursprungsfunktion um eine Parabel handelt - also um eine quadratische Funktion – , ist der Graph der Ableitungsfunktion eine Gerade – also eine lineare Funktion.

Nun kennst du die beiden wichtigsten Sachverhalte auf die du beim graphischen differenzieren achten musst: die Steigung und die Extremstellen der Ursprungsfunktion. Wenn du die Regeln befolgst, so wirst du den Graph der Ableitungsfunktion sicher zeichnen können.

Ich hoffe, dass es dir Spaß gemacht hat ! Wir sehen uns bestimmt bald wieder.

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