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Transkript Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung

Hallo! Toll, dass du mal wieder da bist. Heute werden wir gemeinsam 2 lineare Ungleichungssysteme grafisch lösen. Die wichtigsten Schritte hierfür werden bei den Übungen noch einmal wiederholt.

Beispielaufgabe 1

Zum Aufwärmen beschäftigen wir uns mit einem einfachen Beispiel. Die erste Ungleichung heißt 2x - 2y <= 4. Und die zweite Ungleichung lautet - 3x -y > -3.

Zunächst müssen wir beide Ungleichungen nach y auflösen. Fangen wir mit der ersten Ungleichung an. Zunächst subtrahieren wir auf beiden Seiten 2x und erhalten -2y <= -2x + 4. Nun dividieren wir die Ungleichung durch -2. Achte darauf, dass sich nun das Ungleichheitszeichen umdreht. Wir erhalten nun folgende Ungleichung: y >= x - 2

Nun ist die zweite Ungleichung an der Reihe. Wir addieren zunächst auf beiden Seiten 3x und erhalten -y > 3x -3. Nun dividieren wir die Ungleichung durch -1 und erhalten, wenn wir das Relationszeichen umdrehen folgendes Ergebnis: y < -3x + 3.

Nun zeichnen wir die beiden Randgeraden y = x - 2 und y = -3x +3 in unterschiedlichen Farben in ein Koordinatensystem ein. Schau sie dir mal genauer an. Die erste Gerade ist rot und die zweite ist blau gezeichnet. Alle Punkte, die auf beziehungsweise oberhalb der roten Gerade liegen, erfüllen die erste lineare Ungleichung. Alle Punkte, die unterhalb der blauen Gerade liegen, erfüllen die zweite Ungleichung.

Die Schnittmenge dieser beiden Halbebenen bilden das Planungsgebiet. Dieses Planungsgebiet stellt die Lösung des linearen Ungleichungssystems dar.

Nun können wir Lösungen ablesen. Als Beispiel kommen die Punkte (0/0) und (0,5/1) in Frage. Aber es gibt natürlich noch unendlich andere Lösungen. Und alle liegen im Planungsgebiet.

Wenn man ein lineares Ungleichungssystem lösen kann, das zwei Ungleichungen enthält, so ist dies bestimmt auch mit drei Ungleichungen möglich. Das Verfahren geht genauso, es ist nur etwas arbeitsintensiver. Also machen wir uns ans Werk!

Beispielaufgabe 2

Unsere drei Ungleichungen heißen: 2x > 8 4y < 16 und 2x + 4y > 8

Nun formen wir die drei Ungleichungen wie in den Beispielen zuvor mithilfe äquivalenter Umformungen um und erhalten die folgenden Ergebnisse: x > 4 y < 4 y > -0,5x + 2

Jetzt zeichnen wir die Randgeraden in unser Koordinatensystem ein.

  • Die rote Gerade ist eine Parallele zur y-Achse, die durch den x-Wert 4 verläuft.
  • Die blaue Gerade ist eine Parallel zur x-Achse, die durch den y-Wert 4 verläuft.
  • Die grüne Gerade stellt die lineare Funktion y = -0,5 x + 2 dar.

Nun müssen wir noch die Halbebenen einzeichnen. Also alle Punkte, die rechts von der roten Geraden liegen. Alle Punkte, die unter der blauen Geraden liegen und alle Punkte, die über der grünen Geraden liegen. Hier siehst du nun die drei Halbebenen und kannst nun das Planungsgebiet erkennen. Dies ist die Schnittmenge dieser drei Halbebenen.

Als Beispiele für Lösungen des linearen Ungleichungssystems kommen die Punkte (5/3) und (6/2) in Frage. Aber es gibt natürlich noch unendlich viele andere Lösungen. Und alle liegen im Planungsgebiet.

Schluss

Es gibt natürlich noch komplexere Aufgaben, bei denen es noch mehr Vorrausetzungen für das lineare Ungleichungssystem gibt. Aber alle lassen sich mit diesem Verfahren hier lösen. Ich hoffe, dass du alles verstanden hast und wünsche dir noch einen angenehmen Tag!

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3 Kommentare
  1. Felix

    @Vonwa: Das Relationszeichen ändert sich bei Ungleichungen nur, wenn man durch eine negative Zahl dividiert oder mit einer negativen Zahl multipliziert.
    Ein Beispiel: Wir dividieren bei -2x>8 auf beiden Seiten durch die negative Zahl -2. Das Relationszeichen ändert sich und wir erhalten x8 auf beiden Seiten durch 2, dann ändert sich das Relationszeichen nicht und wir erhalten x>4.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor 6 Monaten
  2. Default

    Ich dachte man muss bei ":" oder * diese Zeichen "> / < "umkehren, aber wieso ändert es dann nicht bei 2x>8 zu x oder?

    Von Vonwa, vor 6 Monaten
  3. Facebook chronik cover hund feat

    Ich liebe euch! :D Tolles Video (:

    Von Tanja F., vor etwa 3 Jahren