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Transkript Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen

Hallo, schön dich mal wieder zu sehen. Heute wollen wir lineare Ungleichungssysteme grafisch lösen. Dabei wirst du die wichtigsten Grundlagen zum Lösen der linearen Ungleichungssysteme lernen.

Beispielaufgabe

Am besten fangen wir sofort mit einem Beispiel an. Ein Ungleichungssystem muss natürlich aus mehreren Ungleichungen bestehen. Unser Ungleichungssystem besteht aus zwei Ungleichungen.

Die erste Ungleichung heißt 4x - 2y < -5 Die zweite Ungleichung heißt x + 2y < 10

Die beiden Ungleichungen müssen wir nun jeweils nach der Variable y auflösen. Fangen wir mit der ersten Ungleichung an.

Zunächst subtrahieren wir auf beiden Seiten 4x und erhalten - 2y < -4x- 5. Nun müssen wir die Ungleichung durch -2 dividieren. Hier müssen wir wieder an die Regel denken und das Relationszeichen umdrehen. Wir erhalten y > 2x + 2,5. Nun ist die zweite Ungleichung an der Reihe, zuerst subtrahieren wir auf beiden Seiten 1x und erhalten 2y < -x + 10. Nun dividieren wir die Ungleichung durch 2 und erhalten y < -0,5x +5.

Für das grafische Lösen von linearen Ungleichungssystemen ist es nun wichtig, dass wir in der Lage sind sogenannte Randgeraden in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Die Funktionsgleichung unserer Randgeraden können wir indirekt aus unseren Ungleichungen ablesen. Wir erhalten für die beiden Randgeraden y = 2x + 2,5 und y = -0,5 x + 5

Im Koordinatensystem sind die beiden Geraden in verschiedenen Farben eingezeichnet. Alle Punkte, die oberhalb der blauen Geraden liegen, bilden die Lösungsmenge der ersten Ungleichung. Dies ist die erste Halbebene. Alle Punkte, die unterhalb der roten Geraden liegen, bilden die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung. Die ist die zweite Halbebene.

Alle Punkte, die sowohl oberhalb der blauen Gerade und unterhalb der roten Geraden liegen bilden die Schnittmenge des linearen Ungleichungssystems und sind somit die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems. Man nennt diese Lösungsmenge auch das Planungsgebiet.

Welche Lösungen hat denn nun unser lineares Ungleichungssystem? Dazu müssen wir noch einmal das Planungsgebiet genauer anschauen.

Die Punkte (-2/3) und (0/4) sind Beispiele für die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems. Aber unser lineares Ungleichungssystem hat noch mehr Lösungen. Es hat unendlich viele Lösungen und alle liegen natürlich im Planungsgebiet.

Wenn wir Ungleichungen mit den Relationszeichen größer gleich oder kleiner gleich bei den linearen Ungleichungssystemen verwenden, so liegen die Punkte der Randgeraden, die sich in der Schnittmenge befinden auch noch im Planungsgebiet und gehören damit auch zur Lösung des linearen Ungleichungssystems.

Schluss

Ich hoffe, dass du nun Lösungsmengen von linearen Ungleichungssystemen mit Hilfe der Randgeraden zeichnen kannst und innerhalb dieser Planungsgebiete Lösungen ablesen kannst. Denke immer daran, dass du das Relationszeichen einer Ungleichung umdrehen musst, wenn du die Ungleichung durch eine negative Zahl dividierst oder sie mit einer negativen Zahl multiplizierst. Ich wünsche dir noch einen tollen Tag! Wir sehen uns bestimmt bald mal wieder! Tschüß!

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