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Transkript Goldener Schnitt – Alltagsbeispiele

Hallo, es gibt nicht nur einen goldenen Schnitt, sondern auch einen goldenen Winkel. Dieser unterteilt den Vollkreis in unterschiedlich große Teile, nämlich so, dass das Verhältnis des großen Winkels zum kleinen gleich dem Verhältnis des Vollwinkels zum großen Winkel ist. Ψg ist der große Winkel und Ψk ist der kleine Winkel, das Verhältnis dieser beiden Winkel ist Ψg/Ψk. Dieses Verhältnis entspricht dem Verhältnis, also 360°/Ψg. 360° ist in dem Fall der Vollwinkel. Den Vollwinkel kann man auch beschreiben durch (Ψg+Ψk)/Ψg, da Ψg+Ψk=360° ergibt. Ersetzen wir hier Ψg und Ψg durch die Zahl 1, erhalten wir diese Gleichung. Im weiteren wollen wir diesen Quotienten Ψg/Ψk mit z bezeichnen. Setzen wir nun z in diese Gleichung ein, ergibt sich diese Gleichung. Wenn wir nun mit z multiplizieren und die Summanden auf eine Seite bringen, haben wir diese Gleichung. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung ist (1+\sqrt(5))/2, also die goldene Zahl, die Zahl des goldenen Schnittes Φ, also ungefähr 1,62. Wir wissen, dass Ψg/Ψk=Φ, wir wissen auch, dass Ψg=360°-Ψk ist, also 360°-Ψk. Ersetzen wir nun Ψg durch 360°-Ψk, erhalten wir diese Gleichung, durch Umformen erhalten wir diese Gleichung. Und das Ergebnis dieses Terms ist Ψk, also 137,5077641°. Da in der Mathematik aber normalerweise nur der kleinere Winkel als goldener Winkel bezeichnet wird, kann ich das nun wegwischen und sagen: Ψ ist der goldene Winkel. Um zu verstehen, was der Goldene Schnitt und der goldene Winkel mit den Fibonacci-Zahlen zu tun haben, müssen wir zunächst klären was die Fibonacci-Zahlen sind. Das sind Folgenglieder der Zahlenfolge, die sich so aufbaut: Die ersten beiden Zahlen sind 0 und 1, die darauf folgende Zahl ist die Summe der vorhergehenden Zahlen, also 1. Die wiederum darauf folgende Zahl, ist wieder die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen, also 2. Aus 1+2 die Summe ist 3, und so weiter. Die Verhältnisse aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonaccifolge liegen in der Nähe der goldenen Zahl, also 1,61803. Das kannst du hier sehen. Mit größer werdenden Folgengliedern kommt der Quotient immer näher an die goldene Zahl, das bedeutet auch, dass der Quotient sich von Mal zu Mal immer weniger ändert. Angenommen, er ändert sich irgendwann gar nicht mehr, mathematisch gesehen ist das dann der Grenzwert. Dann muss gelten (an+1)/an=an/(an-1), weil an+1 die Summe der beiden Vorgänger ist, können wir an+1 durch an+an-1 ersetzen. Ersetzen wir das Verhältnis dieser Folgenglieder, also an/(an-1) durch z, ergibt sich diese Gleichung. Und hier haben wir wieder die altbekannte quadratische Gleichung, deren positive Lösung die goldene Zahl ist. Und jetzt kommen wir zum Gemüse. Viele Pflanzen wachsen so: Es entsteht ein Blatt an einem Stängel und das nächste Blatt entsteht um den goldenen Winkel versetzt, also ungefähr hier. Das nächste Blatt entsteht wieder um den goldenen Winkel versetzt, also hier ungefähr. Das kannst du auch an diesem Salat sehen. Hier ist das 1. Blatt, um den goldenen Winkel versetzt, ist das 2. Blatt und das 3. Blatt ist auch um den goldenen Winkel versetzt. Dann nehm ich das mal ab. 3. Blatt, jetzt wäre hier wahrscheinlich das 4. Blatt und ab hier dann das hier. Das kann ich jetzt so lange machen, gegen den Uhrzeigersinn, bis kein Salat mehr da ist. Das funktioniert auch am Kohl, denn hier ist das 1. Blatt, da das 2. und hier das 3. Jetzt kann ich es wieder abmachen, 1., 2., 3., hier. Oder man kann es an dieser Rose sehen. Hier ist das 1. Blatt, hier das 2. und hier das 3. Das geht immer so weiter. Ihr könnt es zu Hause auch selber mal ausprobieren mit Gemüse. Wenn man diese Art zu wachsen etwas schematisch darstellt erhält man folgendes Bild: Die 1. Blätter sind außen. Blatt Nummer 0 ist hier, um den goldenen Winkel versetzt ist Blatt Nummer 1, um wieder den goldenen Winkel versetzt ist Blatt Nummer 2. Blatt Nummer 3 ist hier. Blatt Nummer 4 ist hier und Nummer 5 ist hier. Blatt Nummer 6 ist hier und ab hier geht es immer so weiter, bis man irgendwann im Mittelpunkt des Kreises angelangt ist. Man kann hier Linien aus nebeneinanderliegenden Punkten erkennen. Hier zum Beispiel und hier, nur nicht richtig gut, dazu müsste man viel mehr Punkte hinzukonstruieren, aber man kann wohl erkennen, dass sich diese Linien spiralförmig um den Mittelpunkt anordnen. Die Punkte, die nebeneinander liegen, gehören zu bestimmten Zahlen, nämlich zu Zahlen, deren Differenz die Fibonacci-Zahlen sind, denn es können nur Punkte nebeneinanderliegen, wenn das Vielfache des goldenen Winkels in der Nähe eines Vielfachen von 360° liegt. Das kann man hier sehen: Das n-fache des goldenen Winkels soll ungefähr dem m-fachen des 360°-Winkels entsprechen. Ψ=360°/Φ und diese Gleichung umgeformt ergibt das hier. Wenn wir hier Fibonacci-Zahlen einsetzen, kommen wir in die Nähe des tatsächlichen Wertes von Φ. Um zu zeigen, dass es nicht nur bloße Theorie ist, habe ich eine Sonnenblume mitgebracht. Ich zeige jetzt die Linien von gerade. Hier sind auch Linien und in diese Richtung auch. Hättest du nicht gedacht, dass in der Sonnenblume Fibonacci-Zahlen sind, oder?

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1 Kommentar
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    EIn echt gelungenes Video! Eine gut zur Schaustellung von einem nicht immer ganz einfach zu verstehendem Phänomen. Nur eines ist erwähnenswert:

    Die Fibonacci-Spiralen sind zwar bildhaft rübergekommen, aber das tiefere Verständnis wurde vorrausgesetzt. Was bedeutet letztenendes ein die 55 neben der Spirale einer Sonnenblume? Das konnte ich mir daraus nicht erklären.

    Eine sehr empfehlenswert Seit die diese Frage beantwortet und völlig nach eurem didaktischen Konzept geht ist:
    http://www.math.smith.edu/phyllo//

    Ansonsten wie gesagt sehr schön!

    lg

    Von Yusith, vor etwa 6 Jahren