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Transkript Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen

Hi. Für das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen gibt es mehrere Lösungsverfahren für Gleichungen. Ich stelle dir heute eines vor – und zwar das geschickte Probieren. Es ist ein einfaches und gleichzeitig nicht das allerschlechteste Verfahren. Auch professionelle Mathematiker verwenden für viele Probleme Probiermethoden.

Im Folgenden werden wir kurz wiederholen, was eine Variable ist und was eine Gleichung ist und welche Rolle eine Variable in einer Gleichung hat. Das bringt uns dann schon auf die richtige Spur: Wir suchen Lösungen von Gleichungen. Dabei lassen wir uns von unserem mathematischen Instinkt leiten: Lösen durch Probieren.

Wir werden dann das Verfahren auf ein konkretes Problem anwenden und am Schluss noch mal alles zusammenfassen.

Variablen

Zunächst also eine kleine Wiederholung: Was ist eine Variable? Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Man bezeichnet sie mit einem Buchstaben, z.B. einem x oder einem k oder einem c. Wenn du dir also in einer Rechenvorschrift etwas offen halten willst, benutzt du eine Variable.

Ein kurzes Beispiel: In der Rechenvorschrift 5 + 4 ist alles festgelegt, das Ergebnis ist eindeutig 9. In der Rechenvorschrift 5 + c hingegen ist die zweite Zahl offen, dieser Term hat keinen eindeutigen Zahlenwert.

Erst wenn du für c eine Zahl einsetzt, kannst du das Ergebnis ausrechnen. Zum Beispiel liefert einsetzen von 8 das Ergebnis 13.

Zahlen und Variablen kannst du sehr unterschiedlich kombinieren und damit Terme bilden, z.B. 3 mal Klammer auf 5 mal k + 7 Klammer zu. Oder sieben mal Klammer auf 3x plus 5 Klammer zu usw.

Gleichungen

Eine Gleichung erhalten wir, wenn wir zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbinden, z.B. 5 + 2c = 21. Auch hier kannst du für die Variable c irgendeine Zahl einsetzen, aber eine wahre Aussage entsteht aus der Gleichung nur, wenn nach dem Einsetzen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen dieselbe Zahl steht. Setzt du z.B. 3 ein, entsteht eine falsche Aussage, denn 5 + 2 mal 3 ist 11 und nicht 21.

Die Menge der Zahlen, die du für x einsetzen kannst, sodass eine wahre Aussage entsteht, nennt man Lösungsmenge einer Gleichung. Wie man die Lösungsmenge findet, werden wir gleich erkunden.

Zunächst noch etwas Wichtiges: Gleichungen fallen nicht in jedem Falle vom Himmel, sondern müssen oft zu einem gegebenen Problem aufgestellt werden. Zum Beispiel zu folgendem Rätsel:

Deine kleine Nichte Lisa ist fünf Jahre alt. Ihr Bruder heißt Max. Wenn du Lisas Alter zum Doppelten von Max’ Alter addierst, kommt 21 heraus. Wie alt ist Max?

Hier hilft dir eine Variable. Das Alter von Max bezeichnen wir mit der Variable klein m. Dann lautet die Übersetzung des Rätsels in einer Gleichung: 5 + 2 mal m = 21.

Gleichungen lösen durch Probieren Beispiel 1

Wir wollen die Gleichung 5 + 2m = 21 nun lösen. Wie könnte man zu einer Lösung kommen? Nun, lösen heißt: Die Zahl suchen, die du für m einsetzen kannst, so dass aus der Gleichung eine wahre Aussage wird. Nun fahren wir eine ganz einfache Strategie: wir setzen für m einfach verschiedene Zahlen ein.

Wo sollen wir anfangen? Wir gehen geschickt vor.Wir wissen das Max älter als die 5-jährige Lisa ist. Also setzen wir nur Zahlen ein, die größer als 5 sind. Der Altersunterschied wird bestimmt nicht groß sein - welches Geschwisterpaar hat schon einen Altersabstand von 50 Jahren. Also muss ich eher kleine Zahlen ausprobieren.

Wir machen eine kleine Tabelle und “kreisen” die Lösung durch Ausprobieren ein. In der ersten Spalte notieren wir die Zahlen, die wir für x einsetzen, in der zweiten das Ergebnis für den Term 5 + 2x. Wenn es 21 ergibt, haben wir die Lösung gefunden.

Probieren wir zunächst x = 1, dann nimmt der Term 5+2x den Wert 5 + 2 mal 1= 7 an. 7=21 ist keine wahre Aussage und die 7 ist zu klein, x = 1 ist eine zu kleine Zahl. Aber wir hatten ja auch gesagt, dasss wir Zahlen einsetzen, die größer als 5 sind.

Probieren wir daher x = 10, dann erhalten wir 5 + 2 mal 10 = 5 + 20 = 25. 25 = 21 ist auch keine wahre Aussage und die 25 ist zu groß. Jetzt sind wir quasi über das Ziel hinausgeschossen.

Also probieren wir x = 9, jetzt erhalten wir 5 + 2 mal 9 = 5 + 18 = 23. Nun x = 7, damit erhalte ich 5 plus 2 mal 7 = 5 + 14 = 19. Immer noch falsch, diesmal ist das Ergebnis zu klein. Also bleibt nur noch eine Wahl: x = 8. Damit erhalte ich 5 plus 2 mal 8 = 5 + 16 = 21. Wahre Aussage! x = 8 ist die Lösung meiner Gleichung! x ist das Alter von Max, also ist Max acht Jahre alt.

Gleichungen lösen durch Probieren Beispiel 2

Probieren wir das Verfahren an einem kleinen Zahlenrätsel aus: Wenn man vom Vierfachen einer Zahl 1 abzieht, ergibt sich das Dreifache der Zahl, zu dem man noch 3 hinzuaddiert. Zunächst übersetzen wir dieses Rätsel Wort für Wort in eine Gleichung:

  • Die gesuchte Zahl nennen wir: z
  • Das Vierfache der Zahl ist dann: 4z
  • Nun müssen wir noch 1 subtrahieren: 4z - 1
  • Das ist der erste Term aus dem Zahlenrätsel. Dieser soll gleich dem Dreifachen der Zahl sein, wenn man noch 3 addiert.
  • Das Dreifache der Zahl ist: 3z
  • Addiert man noch 3, erhalten wir den zweiten Term: 3z + 3

Also soll gelten: 4 mal z -1 = 3 mal z +3. Das ist unsere Gleichung.

Nun steht auf beiden Seiten die Variable, aber das macht nichts: Beim geschickten Probieren muss ich eben jetzt auf beiden Seiten der Gleichung Werte für z einsetzen, und zwar jeweils denselben!

Fangen wir einfach mal auf Gut Glück mit z=1 an; damit erhalten wir 4 mal 1 -1 = 3 und 3 mal 1 + 3 = 6, also keine wahre Aussage. Aber wir sind wohl schon nah an der Lösung, denn die Differenz der beiden Ergebniss beträgt nur 3. Mit z = 2 erhalten wir 4 mal 2 minus 1 = 7 und 3 mal 2 + 3 = 9. Aha, immer noch falsch, aber die beiden Terme rücken schon näher zusammen. Die Differenz beträgt nämlich nur noch 2.

Probieren wir nun die 4: 4 mal 4 - 1 = 15 und 3 mal 4 + 3 = 15. z = 4 ist die Lösung, d.h. die gesuchte Zahl des Rätsels!

Zusammenfassung

Fassen wir zusammen:

  1. Variablen sind Platzhalter für Zahlen.
  2. Gleichungen enthalten eine Variable, und die Lösung einer Gleichung ist eine Zahl, die wir für die Variable einsetzen, sodass durch das Einsetzen eine wahre Aussage entsteht.
  3. Wir können Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen, indem wir für die Variable so lange Zahlen einsetzen, bis eine wahre Aussage entsteht.

Damit hast du einen einen interessanten Weg kennen gelernt, Gleichungen zu lösen. Denn probieren geht also zumindest für heute tatsächlich über studieren.

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13 Kommentare
  1. Default

    bisschen aufwendig erklärt, die Übung mit max und lisa ...

    Von Grünwald .., vor 3 Monaten
  2. Default

    Ich kanns einigermaßen
    aber ich hasse Mathe immernoch

    Von Daniel Gabriel, vor 11 Monaten
  3. Image

    einfach

    Von Ki Ni Az, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Coooooooooooooooooooooooooool

    Von Robin Kazemi, vor mehr als einem Jahr
  5. 2a273bf7bf593c811ac76bd3897546cd

    *werde mich mal

    Von Sylvio S., vor mehr als einem Jahr
  1. 2a273bf7bf593c811ac76bd3897546cd

    Hmmm.... Merkwürdig, jetzt stottert das Video... Ich werd emich mal an den Support wenden.

    Von Sylvio S., vor mehr als einem Jahr
  2. 2a273bf7bf593c811ac76bd3897546cd

    Alles klar, dankeschön.

    Von Sylvio S., vor mehr als einem Jahr
  3. Sarah2

    @ Sylvio S.: Die Audiospur vom Video ist korrekt. Probiere noch einmal Folgendes; Logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut. Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an die Mitarbeiter von unserem Support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als einem Jahr
  4. 2a273bf7bf593c811ac76bd3897546cd

    Bei mir stimmt die Audiuspur nicht... wird alles durcheinandergewurfen...

    Von Sylvio S., vor mehr als einem Jahr
  5. Felix

    @ Lucas B.:
    Bei "Löse rechnerisch" geht leider geschicktes Probieren nicht. Bei solchen Aufgaben musst du mit Umformungen arbeiten.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als einem Jahr
  6. Default

    Wenn in der Schulaugabe nun "Löse rechnerisch" steht, kann ich es trotzdem mit dieser Methode lösen?

    Von Lucas K., vor mehr als einem Jahr
  7. Default

    die Regel heißt doch , dass man Punkt vor Strich rechnet ;-)

    Von Juergen Liedtke, vor fast 2 Jahren
  8. 74854523786

    ich finde dieses Video echt klasse und besonders gut ist das Video besonders auch wie sich sofatutor geändert hat:D...

    Von Nabidahamna, vor mehr als 2 Jahren
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