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Transkript Gleichung 3. Grades – Beispiel

Hallo! Hier ist eine Gleichung 3. Grades, x3+6x2+11x=-6. Das ist eine Gleichung 3. Grades, weil der höchste Exponent eine 3 ist und eine Gleichung 3. Grades ist im Allgemeinen nicht mit einer Formel lösbar. Es gibt aber ein Verfahren, mit dem man die anderen beiden möglichen Lösungen finden kann, wenn man eine Lösung der Gleichung schon kennt. Und dieses Verfahren möchte ich jetzt mal zeigen. Dazu brauche ich erst mal die Gleichung in der Form, dass auf einer Seite eine Null alleine steht. Dürfte kein Problem sein, mit Äquivalenzumformung, hast du zigmal gemacht, zeige ich jetzt an der Stelle nicht. Wie kommt man jetzt zu der 1. Lösung? Normalerweise, wenn man jetzt Mathematik anwendet, ergibt sich so was aus dem Sachzusammenhang oder man hat eine Lösung und konstruiert den Rest drum herum. Aber es kommt auch in Schulen vor, dass du diese Gleichung bekommst, und sollst die 1. Nullstelle raten. Raten ist normalerweise kein Element der Mathematik, Mathematik ist ja kein Quiz. Aber es wird so in Schulen gelehrt, deshalb zeige ich das hier. Also Nullstelle raten bedeutet dann, du kannst einfach mal hier Zahlen einsetzen, ganze Zahlen, 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 und dann sollte da eine Lösung dabei sein. Es kann vielleicht auch noch sein, dass da 1/2 und -1/2 vorkommt, das ist aber auch das Komplizierteste, was ich bisher gesehen habe. Und wenn du also solche Zahlen einsetzt, dann solltest du ziemlich schnell eine Lösung finden. Das ist die Lage. Hier gibt es eine Lösung, sie ist -1, wenn man hier -1 für x einsetzt, ist die Gleichung richtig. Also diese ist richtig und diese natürlich auch. Hier habe ich die Rechnung kurz gezeigt, wenn du es selber rechnen möchtest, zum Vergleich. Wenn man nun diese eine Lösung kennt, dann kann man diese Seite der Gleichung, also der Gleichung, wo auf der anderen Seite die Null alleine steht, kann man dann durch x-Lösung teilen. Und das macht man mit der Polynomdivision. Hier habe ich diese Seite noch mal hingeschrieben und ich teile jetzt durch x-Lösung, die Lösung ist ja -1, deshalb -Lösung ist dann +1. Und das sieht nun in voller Schönheit so aus. Ich erkläre kurz, was gemacht wurde, hier bei der Polynomdivision, möchte es aber nicht in allen klitze kleinen Einzelheiten erklären. Weil das auch Thema anderer Filme ist, wo die Polynomdivision alleine behandelt wird. Was kann man hier machen? Man nimmt den 1. Summanden hier, den 1. Summanden hier und teilt durch einander. Also x3/x=x2 dann x2×x-Lösung in dem Fall x+1 und die Multiplikation von x2 und Klammer, schreibt man hier hin. Das hier zieht man vom oberen Term ab und es entsteht dann der Term 5x2+11x+6. Und dann geht das Verfahren von vorne los. Man nimmt hier den 1. Summanden und teilt durch diesen 1. Summanden, also 5x2/x=5x dann multipliziert man 5x mit der gesamten Klammer, schreibt das Ergebnis hierhin, zieht dieses Ergebnis vom obigen Term ab und erhält den nächsten. Und dann sieht man auch schon, was rauskommt, +6 muss man dann noch hinschreiben. Und dann ist die Polynomdivision durch. Jetzt haben wir als Lösung einen quadratischen Term, nämlich x2+5x+6 und können jetzt die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmen, die rauskommt, wenn wir diesen Term=0 setzen. Das habe ich hier gemacht x2+5x+6=0. Und da wende ich jetzt einfach die pq Formel an. Die anderen beiden Lösungen, x2 und x3, erhält man dann, wenn man -5/2±\sqrt(5/2)2-6 rechnet. Glaube muss ich nicht weiter erklären, pq Formel sollte schon bekannt sein. Die anderen beiden Lösungen x2 und x3 sind dann -2 und -3 und dann reiht sich das also hier alles vernünftig auf, Lösung x1=-1, Lösung x2=-2 und Lösung x3=-3. Und dann muss man noch die Lösungsmenge hinschreiben. Dann habe ich hier noch Platz, mache ich eben auch, das ist ja das L mit dem Doppelstrich |L={-3;-2;-1}. Man kann die auch in anderer Reihenfolge hinschreiben. Ist ja auch egal. Damit ist das Ding nun durch. Ich glaube es gibt nicht mehr viel zu sagen, deshalb halte ich jetzt die Klappe. Tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    guter Lehrer

    Von Timfreed, vor fast 5 Jahren