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Transkript Geradenscharen – Geraden konstruieren (1)

Hallo. Hier ist ein Würfel abgebildet, dort ist er in echt. Der Würfel hat die Kantenlänge 4, der Punkt A des Würfels liegt im Koordinatenursprung, die Eckpunkte tun nicht viel zur Sache, kann man auch leicht ablesen, einer ist angegeben, warum nicht. Es sind die Seitenmitten M1 und M2 angegeben, also die Seitenmitten hier einmal von A, E, F, B und die Seitenmitte von A, D, H, E. Das sind die Koordinaten. Es ist außerdem angegeben der Normalenvektor der Ebene, den schreibe ich mal hier hin. Der Normalenvektor n der Ebene, in der das Dreieck liegt. Dieses rote Dreieck, bzw. was ich hier so vorbereitet habe, dieses Dreieck. Übrigens, dieses ist nicht rot. Und das Dreieck hier, dieses rote, ist auch kürzer, das geht nur bis hier hin. Ich habe das jetzt mal hier verlängert, weil ich das gleich brauche, dann ist das besser hier. Es gibt eine Ebene, in der das Dreieck liegt, sagen wir mal so. Und diese Ebene hat einen Normalenvektor und der ist angegeben. Der Normalenvektor dieser Ebene ist 1|1|1. Außerdem ist gegeben eine Geradenschar, die hört auf den fantasievollen Namen ga. Die besteht aus den Geraden, die wiederum aus den Vektoren x bestehen.  In Form dieser Gleichung sind die Geraden gegeben. Und zwar durch den Richtungsvektor hier 4|4|a. Ja, falls du dich wunderst, wo ist der Stützvektor, der ist nicht da, bzw. der Stützvektor ist 0|0|0, und dann schreibt man das Ganze ja nicht hin. Also, die Geradenschar besteht aus den Geraden der Gleichung x=lambda×(4|4|a), und die Aufgabe ist jetzt: Bestimme a so, dass diese Gerade dieser Ebene, in der das Dreieck liegt, im 60° Winkel schneidet. Also aus diesen ganzen Geraden ist jetzt eine auszusuchen, und das a zu bestimmen, sodass der Schnittwinkel von dieser Ebene, also die Ebene, in der das rote Dreieck liegt, mit der Geraden 60° beträgt. Und das möchte ich jetzt mal zeigen, wie das aussehen könnte. Hier haben wir ja die Möglichkeit, dann mache ich auch davon gebrauch, das mal anschaulich zu zeigen. Also, wir könnten uns folgendes vorstellen: Ich habe also diese Ebene, in der das rote Dreieck liegt, hier so mal angedeutet, und zwar, in dem ich jetzt noch hier diese Dreiecksseite ein bisschen weiter nach unten gezogen habe, sodass sie hier auf der Diagonalen der Grundseite des Quadrates liegt. Und dann geht hier diese Ebene, diese Gerade durch, zum Beispiel so könnte das aussehen, wird hier festgepappt. Hier geht die Gerade durch den Nullpunkt, da ist der Nullpunkt, und diese Gerade schneidet diese Ebene dort in einem bestimmten Schnittwinkel. Wie groß der ist, weiß ich jetzt nicht, das kommt später. Wir könnten uns eine 2. Gerade vorstellen, die zum Beispiel so aussieht. Die geht auch hier wieder durch den Nullpunkt. Ja und das, was ich hier andeute, das ist dann also der Vektor, der vom Nullpunkt bis hier hin führt, das ist jetzt dieser Vektor 4|4|a. Das ist also hier 4 in x-Richtung, 4 in y-Richtung und a nach oben. So kann man sich das vorstellen, 4|4|a. Und du siehst, je größer das a wird, desto höher wird diese Gerade, desto steiler verläuft sie hier im Vergleich zur Tischplatte. Und da möchte ich auch noch mal einen Punkt andeuten hier oben. So, das sind 3 Geraden, dieser Geradenschar. Die haben alle mit der Dreiecksebene hier unterschiedliche Schnittwinkel. Ja, ich zeige es mal aus verschiedenen Perspektiven. Und wenn du dir das jetzt mal so vorstellst hier, das ist also die Ebene in der das Dreieck liegt, dann kannst du hier sehen, wie die Winkel verlaufen. Ich würde sagen, dass diese Gerade hier nicht einen 60° Winkel mit dieser Ebene hat. Die müsste fast orthogonal durch diese Ebene gehen, das heißt, der Schnittwinkel ist 90°. Die wird es höchstwahrscheinlich nicht sein. Aber hier diese, die könnte es sein. Da ist der Schnittwinkel kleiner. Wenn du dir das hier jetzt noch mal so weiter vorstellst, da könnten wir so in den 60°- Bereich kommen. Und du kannst dir natürlich auch vorstellen, hoffe ich, dass, wenn diese Gerade hier weiter wandert, das werde ich jetzt auch mal zeigen, wie die Gerade wandert, ich muss den Punkt eben entfernen, wenn die hier weiter wandert, dann könnte es hier auch wieder einen Schnittwinkel geben von 60°, warum nicht. Und das sieht dann so aus, hä?, wieso hält denn das? Egal! Manchmal gibt es ja Sachen, die gibt es gar nicht. Also, das hier könnte eine Gerade sein, wo der Schnittwinkel dann auch wieder so 60° ist. Ja, jetzt fällt sie doch um. So. Dann müsste aber das a, dieses a hier, etwas größer sein als 4. Weiß ich nicht genau, wie groß das ist, kann ich so nicht abschätzen. Muss man auch nicht, so ist das nicht gefragt. Wir sollen das ja rechnerisch nachweisen und nicht unbedingt abschätzen. Ja, wie macht man das? Man kann sagen, ich fange einfach mal damit an, was ich weiß. Ich weiß ja, wie man Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen bestimmt. Da gibt es die Formel sinus fi gleich, also fi ist der Schnittwinkel, sinus fi=Betrag des Skalarproduktes aus Normalenvektor und Richtungsvektor, geteilt durch Betrag Normalenvektor×Betrag Richtungsvektor. Das steht in deiner Formelsammlung oder in deinem Kopf. Das möchte ich hier einfach mal schamlos ausnutzen, diese Formel. Wir wissen ja schon, dass der Schnittwinkel nicht irgendein fi ist, sondern 60° ist. So, bitteschön. Ich hoffe, das ist in Ordnung so, manchmal wird sinus von 60° mit Klammer geschrieben um die 60° herum, manchmal ohne. Ich schreibe es jetzt ohne, ich hoffe, das irritiert dich nicht, falls du die andere Schreibweise gewohnt bist. Hier folgt ein Bruch, und zwar habe ich gesagt, dass hier oben in den Zähler ein Betrag kommt, und zwar der Betrag des Skalarproduktes aus dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden. Das habe ich jetzt hier einfach hingeschrieben. Ich hoffe, es ist groß genug, du kannst das lesen. Folgendes ist passiert: Der Normalenvektor der Ebene, der ist ja gegeben, 1|1|1, oder ein Normalenvektor der Ebene, und die Richtungsvektoren der Geradenschar haben alle die Form 4|4|a und das habe ich einfach da hingeschrieben. Das muss man jetzt teilen, und zwar durch den Betrag des Normalenvektors, Betrag des Vektors 1|1|1 mal Betrag des Richtungsvektors der Geraden. Da ist er. Das habe ich jetzt quasi ohne Denken gemacht. Ich habe einfach hingeschrieben, was ist denn unsere Situation hier. Ist natürlich nicht ganz richtig, ich habe mir schon Gedanken darüber gemacht. Aber nur mal zur Taktik, wenn du solche Aufgaben lösen möchtest, dann kannst du dir auch einfach mal stumpf hinschreiben, ja was ist denn dir Formel für den Schnittwinkel? Und ich schreibe einfach mal alles auf, packe mal alles rein in diese Formel, alles was ich hier weiß in der Aufgabe. Mal sehen, vielleicht hilft mir das ja. Und das ist so ein Punkt, den Schüler oft nicht überwinden. Sagen, ich fange einfach mal an und mal gucken, vielleicht komme ich dann ja mal weiter. Sondern viele suchen erst die Lösung und fangen dann an zu schreiben. Aber das ist hier gar nicht so gut. Wenn man es einfach mal hinschreibt, was das alles soll, dann ist man ja fast schon fertig. Denn, es wird also folgendes passieren: Ich habe hier eine ganz normale Gleichung, die kann ich weiter auflösen. Ich kann hier das Skalarprodukt ausrechnen usw., die Beträge ausrechnen, multiplizieren, wenn ich nicht zwischendurch alles verwische. Sinus 60° ist eine ganz normale Zahl, wie du und ich, da muss ich mich auch nicht weiter drum kümmern, das kriegen wir schon hin. Und das ist letzten Endes eine Gleichung mit einer Variablen, und dann werde ich die wohl irgendwie ausrechnen können. Weiß ich jetzt noch nicht wie, aber das wird wohl klappen. Und wenn das klappt, dann ist man einfach fertig. Dann hat man das a, kann das hier einsetzen, hat den Schnittwinkel und alles ist in Ordnung. So, das ist also die Taktik. Und wie das dann letzten Endes aussieht, diese Gleichung hier aufzulösen, das zeige ich im 2. Teil. Bis dahin viel Spaß. Tschüss.

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1 Kommentar
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    alles super,
    aber du sprichst schon ziemlich oft um den heißen brei =)
    komm zum punkt, =)

    Von Moe927, vor mehr als 4 Jahren