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Transkript Geradengleichungen – Parameterform bestimmen (2)

Hei, cool, dass ihr da seid. Aus Vektoren werden jetzt Geraden. Was haben Geraden denn so an sich? Zuallererst: sie sind eindimensional. Ok? Geraden sind ja ein ganz langer Strich und man kann nur vor oder zurückgehen. Wobei - "ganz lang" ist nicht ganz richtig, Geraden sind ... Geraden sind nämlich unendlich lang. Außerdem ist noch wichtig: sie haben eine spezifische Richtung. Wir befinden uns also jetzt immer noch im R3 und eine Gerade kann von hier nach da gehen, sie kann von hier nach da, von unten nach oben.. aber: EINE Richtung müssen sie haben! Und: sie liegen irgendwo speziell im Raum. Diese Geraden haben alle dieselbe Richtung. Die sollten jetzt parallel zueinander sein. Aber sie haben auch eine gewisse Lage: Geraden haben einen bestimmen Ort, an dem sie liegen. Genug geredet lasst uns mal anfangen. Durch die Punkte A(1/2/3) und B(7/4/-5) soll eine Gerade laufen. Wie sieht das dann aus? Wir haben den Punkt A, und sagen wir hier, ist der Punkt B. Dann haben wir so eine Gerade. Die Gerade läuft also von A nach B, damit haben wir die Richtung. Aber wir wissen dadurch noch nicht, ob die Gerade hier liegt, dort oder da, sie kann parallel in alle Richtungen verschoben sein. Dafür müssen wir jetzt einen Punkt der Geraden finden, und am Leichtesten nehmen wir einfach A. Und zwar vom Nullpunkt, vom Ursprung, verläuft ein Vektor zu A, und von A verläuft ein Vektor zu B. Die Gerade hat folgende Form. So, jetzt kommen wir erst mal auf die Gerade: Vom Ursprung gehen wir zu A und jetzt gehen wir noch weiter - von A nach B. Und ihr wisst ja: Vektor AB, also B-A. Und das können wir auch ausrechnen: 7-1, 4-2, -5-3 - und hier haben wir die Richtung der Geraden. Das reicht aber noch nicht ganz. So kommen wir nur von hier nach da, und auch nach dort. Die Gerade ist aber unendlich lang, und sowohl in beide Richtungen. Wir brauchen jetzt also noch ein Vielfaches dieses Vektors, denn vielleicht wollen wir ihn 2× entlanggehen, vielleicht wollen wir ihn 2,5× entlanggehen, wir brauchen ein Λ. Und Λ ist schlicht eine Variable Element R. Formal sieht das Ganze so aus. Eine Gerade hat die Form x (x ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden) = a (das ist der Stützvektor, also der Weg zu einem Punkt der Geraden, da kann ein beliebiger gewählt werden) und v ist der Richtungsvektor der Geraden. Und Λ ist wie gesagt eine Variable, sodass wir auf der Gerade langgehen können. Wenn wir jetzt einen Punkt C haben, dann möchte ich jetzt gerne Wissen, ob dieser Punkt auf der Geraden liegt. Und das überprüfen wir einfach: wir setzen C für x ein, als Vektor. Ok? Jetzt müssen wir diese Gleichung lösen, und wenn wir auf eine Lösung kommen, dann liegt C auf der Geraden, wenn nicht - dann nicht! Ziehen wir als Erstes diesen Vektor ab. So. 7-1=6, 4-2=2 und -5-3=-8. So, wenn wir jetzt so weit sind, könnten wir ein lineares Gleichungssystem öffnen. Müssen wir aber nicht, weil wir sehen ja hier den identischen Vektor. Das heißt: Diese Gleichung hat eine Lösung für Λ=1 - und dadurch liegt der Punkt C auf der Geraden. Und wenn wir noch mal genauer hinsehen, ist C=B. Also muss er ja auf der Geraden liegen! So, weil das so viel Spaß gemacht hat: noch einmal! Gut, wir haben also eine Gerade, die durch den Ursprung und den Punkt (5/2/-3) verläuft. Der Ursprung ist einfach (0/0/0). Sagen wir mal, P ist hier, die Gerade verläuft dann ungefähr so. Und die Geradengleichung sieht folgendermaßen aus: Wir nehmen den Ursprung auch gleich als Ortsvektor (oder als Stützvektor), und der Richtungsvektor ist einfach P. Beziehungsweise P-(0/0/0), aber -(0/0/0) bleibt P. Um jetzt herauszufinden, ob der Punkt Q auf dieser Geraden liegt, müssen wir das Ganze wieder gleichsetzen, bzw. wir setzen Q für x als Vektor ein. So, jetzt erhalten wir ein lineares Gleichungssystem. Und jetzt müssen wir ein Λ finden, dass für alle diese Gleichungen gilt. Wie schreibt man ein solches Gleichungssystem? Man nimmt praktisch hier die 1. Zeile und packt Λ dazu. Also 1=0+5×Λ. 2=0+2×Λ und 5=0-3×Λ. Und die Null können wir da weglassen. Aus der 2. Gleichung folgt ja, dass Λ=1. Dafür müssen wir das einfach durch 2 teilen. Das setzen wir jetzt z.B. in die 2. Gleichung ein. Ha! 1=5... hmmm, stimmt also nicht! Was bedeutet das? Der Punkt Q liegt nicht auf dieser Geraden.

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5 Kommentare
  1. Printimage

    Vielen Dank für das Lob und den Verbesserungshinweis Louis =)

    Von Steph Richter, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Ich finde deine sympatische art super und ich hoffe es gibt viele weitere videos von dir. Ich muss aber sagen das es mich manchmal ein bisschen ablenkt wenn du in die kamera zeigst.

    Von Louis Link, vor mehr als einem Jahr
  3. Printimage

    Danke Mustafa, so etwas lese ich doch sehr gerne =) Viel Spaß weiterhin beim lernen

    Von Steph Richter, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    Keine Ahnung, ob du das jemals lesen wirst Steph, aber ich muss sagen, deine Videos anzuschauen bereitet mir eine riesen Freude. Deine fröhliche und sympatische Präsenz sorgt jedesmal für ein Lächeln und steigert ungemein meine Motivation ( was nicht oft der Fall ist) Mathe zu lernen. Keine Ahnung wie du das schaffst, allerdings hast du meinen Respekt verdient. Weiter so!

    Von Mustafa G., vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Echt gut erklärt ;)

    Von D.Portong, vor fast 4 Jahren