Geraden - parallele Geraden

Hallo!
Wir haben 2 Geraden gegeben und möchten wissen, ob diese beiden Geraden parallel und nicht identisch sind beziehungsweise wir sollen das nachweisen. Kleine Anmerkung zum Sprachgebrauch: Manchmal meint man mit parallel, dass zwei Geraden dann nicht identisch sind. Also parallel heißt auch immer nicht identisch. Manchmal meint man mit parallel, dass sie mindestens parallel sind, weil man sagt, identische Geraden sind ja schließlich auch parallel. Sie sind sogar noch mehr, sie sind identisch. Ich möchte mich da auf keine Bezeichnung festlegen. Deshalb spreche ich jetzt hier von parallel und nicht identisch.
Wie kann man sich das vorstellen? Wir haben einen Stützvektor für eine Gerade und da kommt ein Richtungsvektor dran und den Richtungsvektor kann man jetzt mit verschiedenen Zahlen multiplizieren. Dann wird er länger und kürzer. Und dann kann auch die Richtung wechseln, wenn man ihn mit negativen Zahlen multipliziert. Und wenn wir dann Stützvektor + diesen multiplizierten Richtungsvektor rechnen, dann bekommen wir Punkte, die alle auf einer solchen Geraden liegen. Wenn nun eine zweite Gerade dazukommt, dann könnten die beiden Geraden parallel sein, und zwar dann, wenn die beiden Richtungsvektoren, nur Mal isoliert betrachtet, gleiche oder entgegengesetzte Richtungen haben. Also, so wäre jetzt gleiche Richtung, wenn man Mal sagt, von da nach da ist die Richtung, das ist dann die gleiche Richtung hier. Und so haben sie entgegengesetzte Richtung oder so auch. Wenn das der Fall ist, dann können die beiden Geraden also parallel sein, gleiche oder entgegengesetzte Richtung.
Wenn die Geraden parallel, aber nicht identisch sein sollen, müssen wir uns angucken was passiert, wenn sie identisch sind. Wenn sie identisch sind, dann sind sie also zunächst mal parallel, aber dann kann man mit dieser Geraden hier auch diesen Stützvektor hier erreichen oder den Endpunkt dieses Stützvektors. Der Endpunkt dieses Stützvektors liegt dann auf dieser Geraden. Das sieht dann so aus. Ja, und da sieht man das gleich: Wenn dieser Stützvektor auf dieser Geraden liegt, dann liegt auch dieser Stützvektor auf dieser Geraden. Das bedeutet, wenn wir also ausschließen wollen, dass diese beiden Geraden identisch sind, dann müssen wir nur zeigen, dass ein Stützvektor nicht Punkt der anderen Geraden ist beziehungsweise, dass der Endpunkt dieses Stützvektors nicht auf dieser Geraden liegt. Ja, und das macht man rechnerisch folgendermaßen:
Man hat 2 Geraden gegeben und guckt erst mal, ob die beiden Richtungsvektoren gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben. Das heißt, sie müssen Vielfache voneinander sein. Das bedeutet, es muss eine Zahl geben, k zum Beispiel, mit der man den einen Vektor multiplizieren kann, sodass der andere Vektor herauskommt. Wenn man das hier also zeilenweise liest, hat man k × 1 = -2. Daraus folgt, dass k = -2 sein muss. Wenn k × 2 = 4 sein soll, muss k auch -2 sein, und wenn k × -1 = 2 ergeben soll, muss k auch gleich -2 sein. Das bedeutet, ja, es gibt dieses k. Das bewerkstelligt also, dass man den einen Vektor mit dieser Zahl multiplizieren kann, sodass der andere herauskommt. Das heißt, die beiden Vektoren haben gleiche oder entgegengesetzte Richtung und die beiden Geraden sind also parallel. Im Sinne von mindestens parallel, wir wissen noch nicht, ob sie identisch sind oder nicht.
Wenn wir jetzt feststellen wollen, ob sie identisch sind oder nicht, müssen wir gucken, ob ein Stützvektor oder der Endpunkt eines Stützvektors hier Punkt der anderen Geraden ist. Zum Beispiel der Vektor (-3,1,1), den habe ich hier hingeschrieben, wird jetzt mit der anderen Geraden gleichgesetzt. So sieht das dann in der Gleichung aus. Und das bedeutet jetzt, wenn wir das wieder zeilenweise lesen, wir suchen also eine Zahl, die man für µ einsetzen kann. Das ist der griechische Buchstabe My, einfach als Variable hier, hat keine weitere Bewandtnis, man kann auch andere Variablen verwenden. Also, wir suchen eine Zahl, die man für µ einsetzen kann, sodass die erste Zeile richtig ist. Die lautet dann: -3 = -2 + µ × (-2). Ja, das ist diese hier: das, das, das, das. Daraus folgt, dass µ = 0,5 sein muss, erkläre ich jetzt nicht alles im Einzelnen. Aus der zweiten Zeile folgt auch, dass µ = 0,5 sein muss. Aber aus der dritten Zeile folgt, weil nämlich hier in der dritten Zeile steht 1 = 1 + µ × (2), dass µ = 0 sein muss. Und das kann ja nicht gleichzeitig der Fall sein. Entweder ist µ 0 oder µ ist 0,5 und deshalb haben wir jetzt gezeigt, es gibt kein µ oder keine Zahl, die man für µ einsetzen kann, sodass dieser Punkt hier auch Punkt der anderen Geraden ist. Und deshalb sind diese beiden Geraden parallel, aber nicht identisch. Das war es dazu. Viel Spaß! Tschüss!