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Transkript Geraden – Definition

Hallo und willkommen zur Koordinatengeometrie. Wir wollen uns als mal als Erstes unterhalten über Geraden. Geraden sehen ungefähr so aus. Auch in der Koordinatengeometrie befinden sich Geraden in einem Koordinatensystem. Solche Geraden kann man auffassen als eine Menge von Punkten. Das sind lauter Punkte, die aneinandergereiht sind. Diese Punkte haben im Koordinatensystem jeweils 2 Koordinaten, nämlich eine x- und y-Koordinate. Und diese Punkte bilden also genau dann eine Gerade, wenn die zugehörigen Koordinaten Lösungen der folgenden Gleichung sind oder einer Gleichung des folgenden Typs: ax+by=c, wobei also a ungleich null sein soll oder aber b soll ungleich null sein. Sie können auch beide ungleich null sein, aber mindestens a oder b muss ungleich null sein. Ja, da wird sich mancher denken, häh? Früher waren Geraden doch was ganz anderes. Also, wir hatten Geradengleichungen, die sahen aus, so: y=mx+n oder auch mx+b. b verwende ich jetzt nicht, weil das b jetzt hier schon steht. Warum ist das jetzt anders, warum definiert man das anders? Nun, da gibt es viele Gründe, warum das so ist. 2 möchte ich mal kurz verwähnen. Im weiteren Verlauf deiner Schulkarriere wirst du ja noch mehr Mathematik machen und wirst geometrische Objekte immer mehr analytisch behandeln, mit Zahlen behandeln und dann werden also viele geometrische Objekte demnächst nur noch, was heißt nur noch, werden also Lösungsmengen von Gleichungen bzw. auch Gleichungssystemen sein. Und das, diese Überlegung, dieser Gedankengang, der fängt hier an. Für uns ist jetzt eine Gerade, so wie sie hier ist, nicht mehr eine Funktion, so für das früher für dich der Fall war, als du noch klein warst. Jetzt bist du ja schon groß und jetzt ist eine Gerade was anderes, nämlich eine Lösungsmenge einer Gleichung bzw. die Koordinaten der Punkte der Geraden, die lösen alle eine solche Gleichung. Und wenn wir alle Lösungen einer solchen Gleichung als Koordinaten auffassen, dann erhalten wir Punkte, die alle auf einer Geraden liegen. Ja, das ist jetzt das Neue daran, um diese Denkweise auch vorzubereiten. Es gibt aber noch einen ganz entscheidenden Grund, denn wir wollen in der Koordinatengeometrie alle Geraden betrachten, die sich hier so im Koordinatensystem befinden können, auch die, die parallel zur y-Achse verlaufen. Und wenn du dich daran erinnerst, das geht ja mit einer solchen Funktionsauffassung nicht. Mit dieser Gleichung hier, mit einer solchen Funktionsgleichung kann man keine Gerade darstellen, die parallel zur y-Achse verläuft. Außerdem wollen wir nicht nur Geraden betrachten, sondern auch Parabeln, also auch solche, die jetzt hier so im Koordinatensystem liegen. Also auch das ist keine Funktion mehr. Zudem wollen wir auch noch Kreise betrachten. Auch Kreise kann man jetzt in diesem Koordinatensystem hier nicht mehr als Funktion sehen. Und deshalb werden das alles Lösungsmengen von Gleichungen sein oder auch von Gleichungssystemen. Wie kannst du dir nun vorstellen, dass bei einer solchen Gleichung und bei der zugehörigen Lösungsmenge tatsächlich eine Gerade herauskommt? Du kannst dir Folgendes überlegen. Wir nehmen einfach mal ein kleines Beispiel: x+y=0. a ist in dem Fall 1, da steht ja 1×x+b , ist auch 1, also 1×x+1×y=0, c ist hier 0. Ist das eine Gerade? Du kannst diese Gleichung hier umformen und dann erhältst du y=-x.  y=-x hat wieder die Form, die du von früher her kennst. m ist in dem Fall -1 und n=0. Aber auch mit dieser Gleichung kannst du dir vorstellen, dass da tatsächlich eine Gerade herauskommt. Ich bastle hier noch mal ein Koordinatensystem, einfach nur eben 2 Striche, das reicht. Wenn wir Zahlen für x und y einsetzen, sodass diese Gleichung richtig ist, dann muss ja folgendes gelten: y muss immer die Gegenzahl von x sein. Wenn x=3 ist, muss y=-3 sein, sonst ist die Gleichung nicht richtig. Wenn x=-4 ist, muss y die Gegenzahl sein, also +4, sonst ist die Gleichung auch nicht richtig. Das bedeutet: Immer, wenn wir hier eine x-Koordinate nehmen, x ist ja hier im negativen Bereich, das ist hier die x-Achse, hier ist die y-Achse. Wenn x hier im negativen Bereich ist, dann ist y hier mit dem gleichen Betrag im positiven Bereich. Umgekehrt genauso, wenn x positiv ist, ist y negativ. Und wir erhalten dann diese Gerade. Das ist also, wie du das hier gewöhnt bist, y=-x, das kennst du schon, diese Gerade, aber du siehst auch, wenn man das als Gleichung sieht, als Lösungsmenge dieser Gleichung, dann kann man sich auch diese Gerade gut vorstellen. Was ist mit der Gleichung x-y=0? Auch die kann man umformen und du siehst sofort das läuft auf y=x hinaus, wenn man hier y auf beiden Seiten addiert. y=x, das weißt du, das ist eine Gerade, die hier so verläuft. Und auch das kann man mit einer solchen Gleichung verstehen. Wir wissen, wenn x-y=0 sein soll, dann müssen x und y gleich sein. Wenn x=1,5, dann muss y=1,5 sein, weil nämlich 1,5-1,5=0 ist. D. h. also, wenn jetzt die x-Koordinate hier ist im positiven Bereich, dann muss die y-Koordinate ebenso hier in diesem positiven Bereich sein, mit gleichem Betrag und wir erhalten dann diese gewohnte Gerade, da ist sie, die gehört dazu. Die gewohnte Gerade, die du auch von dieser Gleichung her kennst, aber eben, man kann das auch als Lösungsmenge dieser Gleichung verstehen. 2 kleine andere Beispiele möchte ich noch zeigen dazu. Und zwar, was passiert, wenn jetzt zum Beispiel 2x-y=0 sein soll? Wie ändert sich die ganze Lage dann? Man kann das auch umformen, dann kommt es hier auf die andere Seite, das macht nichts. Wir rechnen also +y auf beiden Seiten und haben dann y=2x dastehen. Und auch das kann sich hier im Koordinatensystem vorstellen, und zwar so: Das ist die y-Achse, hier haben wir die x-Achse. y=2x weißt du, das verläuft so, aber wie kann man das jetzt als Gleichung verstehen? Wenn x=1 ist zum Beispiel, wie groß muss dann y sein? Wenn x=1 ist, dann steht hier 2×1, das ist 2, dann muss y=2 sein. Wenn x=2 ist, dann muss y=4 sein, damit die Differenz 0 ergibt. D. h. also, einfach ausgedrückt: y muss immer doppelt so groß sein wie x. Zum Beispiel, wenn x=1 ist, ist y=2, wenn x=2 ist, ist y=4, da sind die Punkte und wir erhalten diese Gerade, hier mit der Steigung 2. Und das kennst du von dieser Geradengleichung auch, dass da so etwas herauskommt. Und als letztes Beispiel hier noch, was passiert, wenn 2x-y=1 sein soll? Wir stellen uns mal vor, wir nehmen in Gedanken die gleichen x-Werte wie vorher und fragen uns jetzt, wie muss ich das y ändern, damit jetzt 1 rauskommt? Die Frage ist jetzt eigentlich, muss y kleiner oder größer werden. Wir können konkret nachrechnen: Wenn x=1 ist, dann hatten wir hier, muss y=2 sein. Hier allerdings muss y nur =1 sein, denn 2×1=2-1=1. Hier war Folgendes der Fall, wenn x=2 ist, muss y=4 sein. In der Gleichung ist das anders. Wenn x=2 ist, muss y nur noch =3 sein, denn 2-3=1. Das bedeutet also zu den gleichen x-Werten kriegen wir jetzt y-Werte, die alle um 1 nach unten versetzt sind. Wir bekommen also eine Gerade, die hier, wenn ich das richtig gezeichnet hätte, parallel zur ersten Geraden verläuft, nur eben um eine Einheit nach unten versetzt. Und auch das kannst du dir vorstellen, wenn du nämlich diese Gleichung auflöst nach y, dann rechnest du erst -2x auf beiden Seiten und multiplizierst dann noch mit -1 und erhältst also y=2x-1. Und da ergibt sich das gewohnte Bild. Die Gerade zu der Funktionsgleichung y=2x oder zu der Gleichung 2x-y=0 wird einfach um 1 nach unten versetzt und dann kommt diese Gerade dabei heraus. Das ist die Funktionsgleichung dazu und das ist hier die allgemeine Form einer Gleichung. So wird das in Zukunft heißen: allgemeine Form. Und damit soll hier also mal gut sein mit den Beispielen. Viel Spaß mit den Geraden! Tschüss!  

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1 Kommentar
  1. Default

    für einen anfänger zu kompliziert

    Von Broomkids, vor etwa 4 Jahren