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Transkript Geometrie – Wiederholungsaufgabe zusammengesetzte Flächen

Hallo!

Hier ist eine Figur und es geht darum, die Fläche dieser Figur zu bestimmen. Nun, das ist vielleicht eine Figur, die nicht standardmäßig vorkommt, das ist kein Dreieck und auch kein Rechteck zum Beispiel, sondern da muss man ein bisschen was arbeiten, um die Fläche dieser Figur zu bestimmen. Ich habe sie, falls das hier zu komisch ist, wie ich das gezeichnet habe, auch  nochmal ausgedruckt, da kannst du es noch mal in schön sehen. Es ist bekannt, dass diese Figur aus 4 regelmäßigen Sechsecken besteht, und hier sind zwei Angaben: Einmal die Breite von Spitze zu Spitze ist 10 cm, und die größte Höhe hier ist 6,928 cm. So wie ich es hier aufgezeichnet habe sind es natürlich keine cm, sondern es ist viel größer. Auch das ist zu groß, ich glaube es ist fast die doppelte Größe, die diese Figur dann mit den richtigen cm-Angaben hat- aber dann hättest du es nicht sehen können, wenn ich es so klein gemacht hätte.

Wie ist jetzt hier vorzugehen? Wie gesagt, das ist keine Standardfigur, deshalb weißt du zunächst mal nicht wie man die Fläche bestimmt. Das ist richtig so, das ist so gemeint, hier muss man erst noch ein bisschen was tun. Man könnte z. B., da es sich um 4 regelmäßige Sechsecke handelt, diese vielleicht hier mal einzeichnen. Also wenn du keine Idee hast an so einer Stelle, dann hilft die Fragestellung oft weiter: Was könnte ich denn einfach mal so machen, wie würde ich mir denn die Sache hier erschließen? Gibt es irgendwelche Hilfslinien, die ich einführen kann, die ich hier zeichnen kann? Oder Hilfsbegriffe, irgendetwas in die Richtung, das mir die Sache vertrauter macht oder mir das Rechnen erleichtert?

Das sind hier die Hilfslinien, wenn man mal diese Sechsecke hier vervollständigt. Ich meine so müsste es ungefähr gehen, jetzt sieht man dass ich das nicht ganz exakt gezeichnet habe, aber ich glaube die Sechsecke sind erkennbar. Und jetzt sieht man, dass man über ein bestimmtes Sechseck immer noch nicht so viel weiß, aber man weiß schon mal, dass die Höhe dieser beiden Sechsecke, die hier übereinander sind, dass die 6,928 cm beträgt. Ein Sechseck hat dann die Hälfte davon, klar. Aber das hilft immer noch nicht so recht weiter, denn wenn du mal in deiner Formelsammlung nachguckst, Sechsecke stehen da glaube ich nicht drin. Was kann man jetzt machen? An der Stelle sollte dir jetzt einfallen: Wie war das denn früher mit den Methoden? Was habe ich denn für Methoden behandelt, die es mir ermöglichen, Flächen von Figuren zu bestimmen, die keine Standardfiguren sind? Du hast diese Figuren so eingeteilt, dass da Standardfiguren daraus werden. Also die Figur selbst wird nicht zu einer Standardfigur, aber die Teile sind dann Standardfiguren, wie z. B. Dreiecke, wie z. B. Rechtecke oder Trapeze oder was auch immer. Und diese Methode, die kannst du hier auch wieder anwenden. Wie überhaupt bei Flächenbestimmungen sollte dir diese Methode dann immer wieder einfallen. Und hier ist die Idee, die jetzt weiterführt, dass man diese regelmäßigen Sechsecke in Dreiecke einteilt. Ich nehme einfach mal die Mitte, quasi, des Sechsecks, und teile dieses Sechseck in 6 Dreiecke ein. Also die Figur selbst wird nicht zu einer Standardfigur, aber die Teile sind dann Standardfiguren, wie z. B. Dreiecke, wie z. B. Rechtecke oder Trapeze oder was auch immer. So, und was können wir jetzt machen?  Also: Wenn ich das ganz genau gezeichnet hätte, dann hätten wir hier eine Höhe des Dreiecks die da durch geht, dann geht sie hier weiter durch, und da und da und da. Das heißt, wir haben jetzt 4 Dreiecke übereinander, die alle gleich groß sind, also die Dreiecke haben zumindest die gleiche Höhe und das müssten auch alles kongruente Dreiecke sein. Da gehe ich jetzt nicht weiter darauf ein, ich glaube das kann man hier voraussetzen, ich tue das zumindest hier. Dann weiß man, dass diese Angabe hier die 4-fache Höhe eines Dreiecks ist. Das heißt ich könnte ja, wenn ich die Fläche bestimmen will, die Fläche eines Dreiecks bestimmen und dann einfach gucken, wie viele Dreiecke hier drin sind.

Also, dafür brauchen wir zunächst die Höhe, die ist ein Viertel dieser Angabe hier, ein Viertel von 6,928, muss ich also einfach durch 4 teilen. Ich rechne das jetzt nicht im Kopf, ich habe das schon mal heimlich nachgerechnet, das ist 1,732. Und wir brauchen noch eine Grundseite des Dreiecks, also diese Grundseite hier, und da wir davon ausgehen, dass alle Dreiecke kongruent sind - übrigens, wenn du das begründen sollst: Man kann das ausführlich begründen mit Winkelsummen im Dreieck oder so. Du kannst aber auch sagen, aus Symmetriegründen ist dies der Fall, je nachdem wie das so gefordert ist. Es handelt sich um regelmäßige Sechsecke, dann sind die Dreiecke, die man so eingezeichnet hat, auch alle kongruent. Also: wir gehen davon aus, dass alle Grundseiten der Dreiecke gleich groß sind, wir müssten also nur eine Grundseite kennen und dann kämen wir auch weiter. Diese Angabe hier von 10 cm bezieht sich ja auf die Strecke von hier bis da. Wir müssen nur gucken: Wie viel Grundseiten sind denn hier? 1, 2, 3, 4, 5 Grundseiten, und dann weißt du, das eine Grundseite 2 cm groß ist, also 10/5 ist 2. Das heißt aber, dass ich jetzt auch schon weiß, wie groß die Fläche eines Dreiecks ist. Ich muss nämlich, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, rechnen: 1/2× Grundseite × Höhe. Also 1/2× 2 ist die Grundseite, × 1,732. Und was kommt da raus? Klar, 1,732. 1/2×2 ist ja 1.   

Ja, und jetzt sind wir eigentlich fertig mit den Überlegungen, wir müssen nur noch wissen, wie viele Dreiecke es sind und dann das Ergebnis mit dieser Zahl multiplizieren. Hier sind 6 Dreiecke drin, in jedem Sechseck sind 6 Dreiecke, macht zusammen 24 Dreiecke, also muss ich nur noch rechnen: 24×1,732. Und das ist, das rechne ich jetzt auch nicht im Kopf, das habe ich hier irgendwo stehen, das schreibe ich jetzt einfach mal stumpf ab: 41,568. So, und hier schreibe ich jetzt nicht cm² dazu, sondern das kommt in den Antwortsatz. Ich habe hier ohne cm-Angabe gerechnet und da auch, und deshalb können da nicht auf einmal cm oder auch cm² herauskommen, sondern das muss dann separat in einem Satz noch geschrieben werden, dass es sich hier um cm² handelt.

Nun noch mal kurz zum Rekapitulieren: Was hat überhaupt geholfen, um diese Aufgabe zu lösen? Zum ersten war das die Frage: Was kann ich hier machen, wie kann ich mir diese Fläche erschließen? Die Antwort war: Indem man die Sechsecke einzeichnet, und dann kann man diese Sechsecke noch in Standardfiguren unterteilen, nämlich in Dreiecke; und der zweite Punkt war, dass wir uns überlegt haben: Wie habe ich denn früher Flächen berechnet? Oder wie habe ich das gelernt, Flächen zu berechnen, die nicht Flächen von Standardfiguren sind, und da teilt man die Figuren ein in Dreiecke, Rechtecke oder sonst etwas und genau das hat hier auch geholfen. Das waren die beiden Ideen, die man hier haben sollte, bzw. man sollte sich einfach darauf besinnen, was man schon gelernt hat.

Dann viel Spaß damit, tschüss! 

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