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Transkript Geometrie – Prüfungsaufgabe Volumen und Masse (1)

Hallo! Wir sind weiter bei dieser Pyramidenaufgabe und fragen uns jetzt, welche Masse hätte diese Pyramide, wenn sie vollständig, also auch im Inneren, nicht nur die Kanten, nicht nur Außen, aus Stahl wäre? Und zwar aus einem Stahl, aus dem dieser Würfel ist. Um das auszurechnen, brauchen wir ein paar Angaben. Die besorge ich jetzt. Zunächst einmal eine Anmerkung noch, ich mache diese Aufgabe, weil das in der Liste steht, bei den Pflichtthemen. Da steht Flächen und Körper, auch Masse, deshalb zeige ich was zur Masse. Da gibt es eine kleine Sache noch zu bedenken. Im Alltag sagen wir öfters etwas wie (was weiß ich) "3 Kilogramm". Das ist nicht ganz korrekt. Kilogramm ist die Massenangabe, also die Angabe, wie viel etwas ist, quasi, kann man so sagen. Das ist nicht die Gewichtsangabe, rein physikalisch gesehen. Also, ein Beispiel: Wenn ich mich auf dem Mond bewege, dann bin ich leichter, meine Gewichtskraft ist geringer, weil der Mond eine geringere Anziehungskraft hat. Meine Masse ist dann aber die Gleiche geblieben, wie auf der Erde auch. Normalerweise ist das kein Problem, man muss das nicht im Alltag unterscheiden, also die Gewichtskraft und die Masse. Weil ja Gewichtskraft, also die Kraft, die ein solcher Würfel hier nach unten ausübt, die Kraft, mit der er hier auf meine Hand drückt, ist ja proportional zur Masse des Würfels. Daher ist es im Alltag kein Problem, wenn hier aber in den Abschlussprüfungen der Klasse 10 nach Masse explizit gefragt ist, sollte man vielleicht wissen, dass es da einen kleinen Unterschied gibt. Also, wir wollen wissen, welche Masse hätte diese Pyramide, wenn sie vollständig aus diesem Stahl wäre. Dazu müssen wir wissen, welche Masse hat dieser Würfel und welche Abmessungen hat er. Und das möchte ich eben hier mal aufschreiben. Wir haben, dass der Würfel eine Kantenlänge von 4,9 cm hat, und er hat eine Masse von 919 g. Kann ihn eben auch noch einmal in groß zeigen, hier, das ist der Würfel. Das ist kein ganz exakter Würfel, weil, wie Du hier ja siehst, die Kanten abgeschrägt sind. Aber das habe ich hier bei der Kantenlänge von 4,9 cm schon berücksichtigt. Deshalb können wir einfach von einem ganz exakten Würfel ausgehen, der eine Kantenlänge von 4,9 cm hat. Wenn man den also auf eine Waage legt, wird also angezeigt werden "919 g" und jetzt müssen wir das halt umrechnen auf diese Pyramide. Wie machen wir das? Wir müssen erst einmal wissen, wie viel Masse hat denn 1 cm³ dieses Stahls hier? Und das rechnet man so aus, in dem man einfach mal bestimmt, wie viele cm³ hat denn der Würfel? Also, wie groß ist der Würfel, wie viele cm³ sind das und dann müssen wir die 919 g durch die Anzahl dieser cm³ teilen. Also, das mache ich gleich in einem Rechenschritt vor, ich glaube, das brauche ich nicht weiter zu erklären. Das sind 919 g und die teilen wir durch 4,9 cm³. Denn das Volumen eines Würfels bestimmt man ja, nicht wahr, mit Kantenlänge hoch 3 und dann bekommen wir g/cm³ raus. Das werde ich jetzt natürlich nicht im Kopf berechnen, sondern ich tippe das einfach ein. Und zwar kann ich einfach eintippen: 919/4,9³. Und dann sehe ich hoffentlich das richtige Ergebnis. Das ist 7,81137 usw. Dann frage ich mich: Wie kann ich das hier runden? Ich habe hier sowieso schon gerundet mit den Kanten, ich habe das nicht alles ganz exakt bestimmt. Ihr sind ja auch noch Vertiefungen drin usw. Also, deshalb würde ich mal sagen, eine Nachkommastelle soll mal reichen: 7,8g/cm³. Das ist die Masse dieses Stahls. Oder dieser Art von Stahl. Es gibt ja viele verschiedene Arten von Stahl, die alle unterschiedlich schwer sind bzw. die eine unterschiedliche Masse haben - jetzt habe ich mich selbst versprochen. Aber dieser hat jetzt 7,8g/cm³ Masse. Gut, dann müssen wir jetzt noch wissen, welches Volumen hat diese Pyramide? Wie viele cm³ Volumen? Und da wissen wir ja, da brauchen wir die Höhe dieser Pyramide. Wir haben schon die Seiten hier alle. Also wir wissen schon alle Seiten und Kanten sind 30 cm lang. Wir wissen, das Volumen einer Pyramide rechnet man aus, in dem man Grundfläche×Höhe/3 rechnet. Die Grundfläche ist klar, das ist 30×30. Das wissen wir schon, ×Höhe. Die Höhe, wie können wir die Höhe ausrechnen? Da brauchen wir ein Dreieck, und zwar können wir uns folgendes Dreieck vorstellen - ich zeig das mal so, vielleicht. Hier entsteht ein Dreieck. Das hier ist ein rechtwinkliges Dreieck. Wenn das so stehen bleibt, ist es rechtwinklig. Hier, ich hoffe, Du kannst das so sehen. Das rollt alles weg. Macht nix. Auf jeden Fall, dieses Dreieck, das entsteht, wenn man diese Kante hier, also diesen Punkt, diese Ecke, verbindet und wenn man hier die Höhe auch noch hineinhält. Jetzt fehlt nur noch die Seite hier vorne. Dann haben wir ein rechtwinkliges Dreieck. Das wusstest Du wahrscheinlich auch schon so, das war vielleicht gar nicht nötig. Deshalb egal! Also wir haben dieses rechtwinklige Dreieck und müssen uns überlegen "Wie groß ist hier diese eine Kathete?". Die andere Kathete ist ja die Höhe, die wollen wir ausrechnen. Und, diese Seitenhöhe hier, die kennen wir schon. Nämlich aus der letzten Aufgabe. Das ist ja hier eine Aufgabe, die sich an eine Berechnung, die wir schon gemacht haben, anschließt. Wir wissen schon, dass die eine Seitenhöhe, nämlich, 15×\sqrt3 ist. Ich schaue eben mal nach, das war 15×\sqrt3, genau. Das ist quasi die Hypotenuse. Nicht nur quasi, sie ist es auch. Das hier ist eine Kathete und diese Kathete hier unten, in diesem Dreieck, die ist halb so lang, wie eine Grundseite. Jede Grundseite ist ja gleich lang, weil es quadratisch ist. Eine Grundseite ist 30 cm lang, die Hälfte davon ist 15 cm. Und ich forme das jetzt nicht extra noch einmal um, sondern schreibe gleich den Satz des Pythagoras, in der umgeformten Form hin. Und zwar haben wir hier Hypotenuse2-Kathete2=andere Kathete2. Und weil ich nicht die Kathete2 haben möchte, sondern einfach nur die Kathete selber, d. h. die Höhe, habe ich hier noch die Wurzel hingeschrieben. Ok, das sollte dich jetzt nicht mehr durcheinanderbringen. So soll das auch ein bisschen laufen in der Abschlussprüfung. Da kannst du einfach, ja, umformen, das eben einfach im Kopf machen, wenn Du das vorher eh schon gemacht hast, sollte das nicht mehr das große Problem sein. Natürlich ist es immer gut, erst die Formeln mit den entsprechenden Bezeichnungen, mit den entsprechenden Variablen hinzuschreiben und dann die Formel umzuformen und dann in die Variablen die Zahlen einzusetzen - das habe ich mir hier jetzt gespart. Wir wissen aus der vorangegangenen Aufgabe, dass (15×/sqrt3)2=675. Das können wir hier wieder verwenden. Wir rechnen ja mit den exakten Werten weiter. 152=225. Das wissen wir auch so. Und jetzt müssen wir noch 675-225 rechnen, das sind 450. D. h. wir haben hier stehen: /sqrt450. Und da wissen wir, 45, das ist 5×9, dann müssen wir noch mit 10 multiplizieren, dann haben wir nämlich 450. Das bedeutet wir haben 2×3×3×5×5, das ist die Primfaktorzerlegung von 450 und deshalb können wir hier einfach teilweise die Wurzel ziehen. Ich schreibe es noch einmal eben hin: 2×3×3×5×5, teilweise die Wurzel gezogen, bedeutet dann 15×/sqrt2. So, und da kann man natürlich noch einen Näherungswert angeben, das brauchen wir hier aber nicht, weil wir ja eigentlich nicht die Höhe ausrechnen wollen, sondern wir wollen das Volumen der Pyramide bestimmen und dazu brauchen wir Grundfläche×Höhe und dann müssen wir das noch vergleichen, mit der Masse des Würfels bzw. mit der Masse dieses Stahls hier, und das zeige ich im 2. Teil. Bis dahin, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Jonas K259:
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    Von Giuliano Murgo, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Ton ist nach ca 2:30min weg

    Von Jonas K259, vor mehr als einem Jahr
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