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Transkript Geometrie – Prüfungsaufgabe Sternfläche

Hallo! Gegeben ist ein symmetrischer Stern. Es ist zu zeigen, dass der Flächeninhalt=8×(1+1/tan15°) ist. Gegeben ist die Strecke FH mit 4 cm und der Winkel φ=30°. Zur Lösung brauchen wir ein paar Hilfslinien. Der Lotfußpunkt von H auf MC sei K. Aus Symmetriegründen ist EFGH ein Quadrat. Damit ist der Winkel FHG ein 45°-Winkel. HK und MK sind deshalb gleich. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: (MH)²=2×(HK)² und weil MH=2 folgt daraus 4=2×HK² und daraus HK=\sqrt2. Tan15°=HK/CK. Daraus folgt CK=\sqrt2/tan15°. Das Quadrat EFGH hat den Flächeninhalt (2×HK)²=8. Alle Dreiecke zusammen haben den Flächeninhalt 4×HK×CK. Das entspricht 4×\sqrt2×\sqrt2/tan15°=8/tan15°. Der gesamte Stern hat also den Flächeninhalt 8+8×1/tan15°=8×(1+1/tan15°). Das war zu beweisen.

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