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Transkript Geometrie – Prüfungsaufgabe Maßstab

Hallo! Wenn du in der 10. Klasse bist und dich auf die Abschlussarbeit vorbereitest, auf die zentrale Abschlussprüfung in Hessen, dann könnte es sein, dass dich ein Thema überrascht, nämlich das Thema Maßstab. Das kommt vor bei den Pflichtaufgaben, steht hier auf der Liste und deshalb habe ich eine Aufgabe dazu vorbereitet. Es kann gut sein, dass das 2 Jahre her ist bei dir, dass du das Thema in der Schule gemacht hast. Trotzdem kommt es vor. Also, gegeben ist folgende Situation: Wir wissen, dass echte Eisbären circa 3 m lang werden und ich habe hier einen Plüscheisbären. Der ist circa 35 cm lang, also die Länge des echten Eisbären ist auch von Schnauze bis hinten 3 m und der ist hier 35 cm lang. Die Frage ist: Was ist der Verkleinerungsmaßstab? Oder: Gib den Verkleinerungsmaßstab an. Dann könnte sich noch anschließen hier: Wie viel Prozent des Volumens eines echten Eisbären hat der Plüscheisbär? Vorausgesetzt natürlich, die Proportionen sind gleich, was hier nicht ganz stimmt. Also dieser Eisbär ist viel zu dick. Ein echter Eisbär, wenn man das Fell mal wegnimmt, ist relativ schmal. Deshalb stimmt das hier nicht ganz, aber das soll uns jetzt mal nicht interessieren. Ich fange mal an mit dem Maßstab. Der Maßstab berechnet sich wie folgt, meistens wird er mit k bezeichnet. Der Maßstab berechnet sich durch einen Bruch, und zwar haben wir die Bildlänge, oder die Bildstrecke, geteilt durch die Originalstrecke. Dieser Bruch, diese Zahl, die da rauskommt, das ist der Maßstab. Dann setze ich jetzt einfach mal hier die Zahlen ein. Wir wissen: Dieser Plüscheisbär ist 35 cm lang, der echte ist 3 m lang, also muss ich durch 3 teilen, und zwar nicht 35, sondern ich muss das ja dann alles in Metern umrechnen, sonst stimmt es ja nicht, also 0,35. Und das mache ich mir natürlich einfach und rechne das eben mit meinem unseligen Rechner hier nach. 0,35/3=0,11666... Dieses k kann man auch als Verkleinerungsfaktor bezeichnen oder eben schlicht und ergreifend als Maßstab und jetzt weißt du ja, dass in Karten zum Beispiel oder auch bei Modellbauten der Maßstab ein bisschen anders angegeben wird. Da steht dann immer so 1:300.000, oder so was. Das bedeutet dann, 1 cm auf dem Bild sind 300.000 cm in Wirklichkeit. Zum Beispiel auf Karten kann das durchaus der Fall sein. Die Frage ist jetzt: Wie kann man diese Zahl hier umrechnen in so was wie 1:180, oder was auch immer da rauskommen mag? Das macht man folgendermaßen, indem man nämlich hiervon einen reziproken Wert bildet. Wir möchten ja auf folgende Situation hinaus: Wir haben also hier diese 0,11666..., soll sein 1/x und das soll diese Zahl sein: 1 zu so und so viel. Das heißt, wenn ich diese Gleichung hier jetzt hingeschrieben habe, kann ich die nach x auflösen, indem ich mit x multipliziere und dann wieder durch 0,116 teile, aber da ich hier auf dem Taschenrechner die reziprok-Taste habe, kann ich das ja auch einfach so machen. Falls die nicht da sein sollte oder du sie nicht finden solltest oder wenn du die Taste nicht magst, oder wie auch immer, kannst du einfach rechnen 1/0,11666..., dann passt das schon irgendwie. Also, heraus kommt x=8,571 ... das geht dann so weiter. Also natürlich schätzt man das auch jetzt, diesen Wert, da schreibt man jetzt nicht alle Nachkommastellen hin. Ich würde sagen, 1:8,6 würde hier wohl das Passende sein, wenn man auf die 1. Nachkommastelle rundet. Das müsste hier reichen. Dann war noch die Frage, wie viel Prozent des Originalvolumens hat dieser Eisbär hier, wenn wir die gleichen Proportionen voraussetzen? Und du erinnerst dich an die zentrischen Streckungen. Da gab es ja die Situation, dass eine Fläche sich mit dem Quadrat dieses Faktors ändert und das Volumen ändert sich mit diesem Faktor hoch 3. Das bedeutet, wir müssen diesen Faktor einfach ^3 rechnen, wie man so sagt, oder mit 3 potenzieren, um auf den Faktor zu kommen, mit dem das Volumen verkleinert wird, und dann das Ganze noch in Prozente umrechnen. Also, dann mache ich mir das auch wieder leicht. Ich kann wieder auf die reziprok-Taste drücken und habe wieder 0,11666..., es ist immer gut, mit diesen exakten Zahlen weiterzurechnen und das nehme ich jetzt mal hoch 3, also ich potenziere mit 3, so sagt man das ja richtig und heraus kommt 0,001588. So runde ich das mal, das ist hier also ein gerundeter Wert. Ich weiß noch nicht, wie viele Nachkommastellen ich brauche. Das werde ich gleich sehen. Das möchte ich hier jetzt noch in Prozent umrechnen, das heißt, ich muss das einfach mit 100 multiplizieren, weil ja Prozent durch 100 bedeutet, oder Hundertstel. Deshalb komme ich dann also darauf, dass das hier 0,1588 % sind und das sollte man vielleicht noch runden. Ich würde mal sagen, auf die 2. Nachkommastelle müsste das auch hier völlig ausreichen. Die 1. Nachkommastelle fände ich jetzt hier zu ungenau, weil sowieso ja vor dem Komma gar nichts steht. Wenn man jetzt zum Beispiel so was hat wie 37 %, dann kann man noch auf die 1. Nachkommastelle runden, weil man die 37 % vor dem Komma ja auch noch hat. Aber hier steht ja vor dem Komma überhaupt nichts, deshalb, um da eine halbwegs genaue Angabe zu haben, würde ich sagen, die 2. Stelle nach dem Komma soll es hier mal tun. Also haben wir, dass das hier ungefähr gleich 0,16  % sind. Ja, das ist also viel weniger als wenn man das hier vielleicht schließen könnte, es seien 11 % oder so. Es ist viel weniger, weil man eben diesen Faktor mit 3 potenzieren muss und so verändern sich Volumina, wenn man sie durch einen Maßstab verkleinert. Viel Spaß damit. Tschüss.

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1 Kommentar
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    cooler Eisbär und gut erklärt auch für nicht 10. Klässler und nicht sekundarschulschüler .

    Von Jannik Nelly, vor etwa einem Monat
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