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Transkript Geometrie – Prüfungsaufgabe Kreis und Kreisring

Hallo! Im Pflichtteil der Abschlussarbeit kommt das Thema Kreis und Kreisring vor. Hierzu habe ich einmal eine Aufgabe vorbereitet. Es geht also rein gedanklich gesehen um einen Kuchen, der sich hier in der Kuchenform befinden könnte, den haben wir gebacken, der ist fertig und riecht lecker. Dann wollen wir diesen Kuchen garnieren, und zwar mit Schokoladenstreuseln, die wir auf dem Kuchen verteilen, und zwar in einem Ring außen am Kuchen, in einem äußeren Ring auf dem Kuchen drauf. Das ist der Kuchen hier von oben gesehen mit den Schokoladenstreuseln. Die zeichne ich nicht alle ein, du kannst dir Schokoladenstreusel vorstellen. Wir wollen die Fläche dieses Kreisrings darstellen in Abhängigkeit von der Breite der Fläche. x soll also die Breite des Rings sein und die Aufgabe könnte lauten: Stelle die Fläche des Kreisrings in Abhängigkeit von x, also der Breite des Ringes, dar. Was macht man da, in einem solchen Fall? Auf jeden Fall nicht verzweifeln. Es ist immer so, eine Aufgabe, auf die man nicht vorbereitet ist und dann so kalt erwischt wird, dann sagt man sich erst mal 'Hilfe, was muss ich machen?'. Aber das Erste, was du machen könntest, ist nicht sofort sagen 'Ich weiß die Zuordnung jetzt nicht, ich komm da nicht drauf, ich seh das nicht'. Das ist so gemeint, dass man das nicht sofort sieht. Man kann da ein paar Umformungen machen. Also um hier mal ein bisschen klarer zu werden, kannst du dir einfach mal die Formel für einen Kreisring vornehmen. So ist das Vorgehen da, es geht ja hier um einen Kreisring, also um die Fläche eines Kreisringes. Und wie ist die Formel? Die kannst du in deiner Formelsammlung nachsehen, die steht da drin: A=π(r12-r22). So, was ist r1 und r2. r1 ist dann, wenn das hier abgezogen wird, der größere Radius, also hier diese 14cm, die sind angegeben von hier bis da. Und r2 ist der kleinere Radius. Wie komme ich da drauf? Einmal kurz überlegen: Wie ist die Systematik hier bei der Flächenbestimmung eines Kreisringes. Wir bestimmen erst die Fläche des großen Kreises, dann bestimmen wir die Fläche des kleinen Kreises und ziehen beide voneinander ab. Und das ist hier eben gemacht. π×r12 ist der große Kreis und π×r22 ist der kleine Kreis. Die werden voneinander abgezogen und das kann man dann so zusammenfassen. Damit ist klar, großer Radius r1, kleiner Radius r2. Also das ist hier r2. Jetzt wollen wir hier aber nicht die ganze Sache in Abhängigkeit von r2 darstellen. Ich darf das vielleicht auch einmal eben hier ersetzen und das auf unsere Situation hier münzen, wir müssen gar nicht so allgemein vorgehen, wenn wir wissen, dass der große Radius 14 ist, dann können wir auch gleich hier schreiben 142-r22. Das ist dann auch richtig. Jetzt haben wir hier quasi, wenn wir so wollen, eine Funktionsgleichung stehen. Es wird die Fläche ausgerechnet A, und zwar in Abhängigkeit von r2. Also das ist die unabhängige Variable und so sagt man das jetzt, dass hier diese Fläche von r2 abhängt, die Fläche wird in Abhängigkeit von r2 ausgerechnet. Das wollen wir aber nicht haben, wir wollen, dass hier irgendwo ein x steht. x im Sinne von Breite des Kreisringes. So, was hat man da zu tun? Wir überlegen uns erst einmal, wie berechnet man x? Wir müssen irgendwie eine Gleichung finden, in der x vorkommt. Und das können wir uns so überlegen: x ist die Breite des Kreisringes, d. h. wir müssen den großen Radius, also r1, minus den kleinen Radius rechnen, also minus r2. Aha, da jetzt hier r2 vorkommt und wir übrigens schon wissen, dass r1=14 ist, müssen wir diese Gleichung nur noch nach r2 auflösen und dann das, was dort herauskommt, hier einsetzen für r2. Dann haben wir nämlich einen Term, in dem x nur noch vorkommt und das bringt uns die Funktionsgleichung, die wir haben wollen. Wenn wir diese Gleichung nach r2 auflösen, dann rechnen wir vielleicht +r2 auf beiden Seiten und -x auf beiden Seiten. Dann steht da r2=14-x. Aha und dann kann ich das hier also einsetzen und komme auf folgende Gleichung: A=π(142-(14-x)2) Und so lässt man das Ganze natürlich nicht stehen, das löst man noch ein bisschen auf, das ist unanständig, das einfach so hinzuschreiben. Dann mach ich das mal: =π(142 Also man fängt hier natürlich mit der inneren Klammer an. Wir haben eine Summe 14-x, die quadriert werden soll. Da können wir oder müssen sogar eine binomische Formel anwenden, nämlich die 2. Normalerweise bei der binomischen Formel ist es so, dass wenn wir die anwenden, dann haben wir hinterher keine Klammer mehr haben. Hier brauchen wir aber trotzdem noch eine Klammer, weil wir das Ergebnis der binomischen Formel als Ganzes dann abziehen wollen. Und immer wenn man eine gesamte Summe - also das, was bei einer Summe herauskommt- abziehen möchte, dann braucht man eine Klammer. Bitte, da ist sie: =π(142-( Wir wenden die binomische Formel an. Also wir haben (a-b)2 und die Formel lautet a2-(2ab)+b2. a ist bei uns 14, also haben wir hier a2, also 142 minus 2ab, also 2×14x + b2, also hier bei uns x2. Und dann geht erst mal die Klammer zu hier, diese Klammer und dann schließt sich hier noch diese Klammer an, die auch zu geht, weil das gesamte Ergebnis dann mit π multipliziert werden soll. Ich hoffe es ist gerade noch sichtbar. Dann lösen wir von innen nach außen die Klammern, wie das so üblich ist. Also haben wir dann: =π(142- und dann ändern sich alle Vorzeichen der Summanden in der Klammer, so sagt man das. Wir haben -142 hier steht ein Minuszeichen, das ändert sich. Dann haben wir hier 2×14, also +28x. Hier steht ein Pluszeichen, plus x2 steht da, also rechnen wir hier -x2 und dann geht die große Klammer zu. Und jetzt können wir hier innen erst noch etwas ausrechnen. D. h. das 142 verschwindet hier, weil da 142-142 steht. Dann müssen wir nur noch schreiben: =π(28x-x2) Und das kann man jetzt so in die Form schreiben, die üblich für Funktionsterme ist. Wir nehmen das x2 nach vorne und verwenden das π hier noch und haben dann also: =-πx2+28πx Und das ist das A, das steht hier oben, da schreib ich es nicht noch einmal hin. Das ist also unser Funktionsterm, den wir brauchen und damit haben wir die Fläche des Kreisringes in Abhängigkeit der Breite des Ringes dargestellt. Viel Spaß damit. Tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    Wie kann das sein,dass das video die ganze zeit lädt und nicht abgespielt wird?? :O ist bei allen videos so..brauche hilfe!

    Von Pierre/Luca M., vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Sehr gut erklährt !

    Von Edelgrau, vor mehr als 6 Jahren
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